算法与数据结构核心问题解析-优快云博客

24、编写一个算法来找到最大成本生成树，即具有最高可能成本的生成树。

可通过修改Prim算法来找到最大成本生成树，将选择最小成本边改为选择最大成本边。以下是修改后的伪代码：

static void MaxPrim(Graph G, int s, int[] D, int[] V) {
    for (int i = 0; i < G.n(); i++) {
        D[i] = Integer.MIN_VALUE;
    }
    D[s] = 0;
    for (int i = 0; i < G.n(); i++) {
        int v = maxVertex(G, D);
        G.setMark(v, VISITED);
        if (v != s)
            AddEdgetoMST(V[v], v);
        if (D[v] == Integer.MIN_VALUE)
            return;
        for (int w = G.first(v); w < G.n(); w = G.next(v, w)) {
            if (D[w] < G.weight(v, w)) {
                D[w] = G.weight(v, w);
                V[w] = v;
            }
        }
    }
}

其中 maxVertex 函数用于找到距离最大的顶点。该算法从起始顶点开始，每次选择连接到已选顶点集合的最大成本边，将其加入生成树，直到所有顶点都被包含。

25、证明树是一个二分图。

以下是证明树是二分图的过程：

首先明确二分图的定义 ：
二分图是一个可以将其顶点集划分为两个不相交子集 $ U $ 和 $ V $ 的图，使得图中的每条边都连接 $ U $ 中的一个顶点和 $ V $ 中的一个顶点。
使用广度优先搜索（BFS）对树进行操作 ：
任选树中的一个顶点作为起始点，将其标记为属于集合 $ U $。
进行广度优先搜索 ：
对于从当前顶点扩展出的所有邻接顶点：
如果当前顶点属于集合 $ U $，则将这些邻接顶点标记为属于集合 $ V $；
如果当前顶点属于集合 $ V $，则将这些邻接顶点标记为属于集合 $ U $。
利用树的无环性质 ：
由于树是无环的，在搜索过程中不会出现冲突情况。也就是说，不会出现一条边连接两个属于同一集合的顶点。
因为如果存在这样的边，就意味着树中存在环，这与树的定义相矛盾。
结论：
通过上述的顶点划分方式，可以将树的顶点集划分为两个不相交的子集 $ U $ 和 $ V $，并且树中的每条边都连接 $ U $ 中的一个顶点和 $ V $ 中的一个顶点。
综上，树是一个二分图。

26、给定一个纯列表的链表表示，例如 ⟨x1, ⟨y1, y2, ⟨z1, z2⟩, y4⟩, ⟨w1, w2⟩, x4⟩，编写一个原地反转算法，用于反转所有层级的子列表，包括最顶层的列表。对于这个例子，结果应该是对应于 ⟨x4, ⟨w2, w1⟩, ⟨y4, ⟨z2, z1⟩, y2, y1⟩, x1⟩ 的链表表示。

以下是一个Python实现的原地反转算法：

```python
class ListNode:
    def __init__(self, value, is_atom=True):
        self.value = value
        self.is_atom = is_atom
        self.next = None
        if not is_atom:
            self.child = None

def reverse_list(node):
    prev = None
    current = node
    while current:
        next_node = current.next
        current.next = prev
        if not current.is_atom:
            current.child = reverse_list(current.child)
        prev = current
        current = next_node
    return prev

def create_linked_list(lst):
    dummy = ListNode(None)
    current = dummy
    for item in lst:
        if isinstance(item, list):
            sublist_node = ListNode(None, is_atom=False)
            sublist_node.child = create_linked_list(item)
            current.next = sublist_node
            current = sublist_node
        else:
            at