15、非齐次连续时间马尔可夫链的LTL模型检查与可达性分析

非齐次连续时间马尔可夫链的LTL模型检查与可达性分析

1. 预备知识

在开始深入研究之前，我们需要了解一些基本的概念和定义。

• 概率分布 ：给定一个集合 $S$，$Distr(S)$ 表示 $S$ 上的概率分布集合。
• 非齐次连续时间马尔可夫链（ICTMC） ：一个（带标签的）非齐次连续时间马尔可夫链是一个元组 $C = (S, AP, L, α, R(t))$，其中：
  • $S$ 是一个有限状态集。
  • $AP$ 是一个有限原子命题集。
  • $L : S → 2^{AP}$ 是一个标签函数。
  • $α ∈ Distr(S)$ 是初始分布。
  • $R(t) : S × S × R_{\geq 0} → R_{\geq 0}$ 是一个速率矩阵。

此外，我们定义对角矩阵 $E(t) = diag [E_s(t)] ∈ R^{n×n} {\geq 0}$，其中 $n = |S|$，$E_s(t) = \sum {s’∈S} R_{s,s’}(t)$ 是状态 $s$ 在时间 $t$ 的退出速率。如果所有速率（以及退出速率）都是常数，我们就得到一个连续时间马尔可夫链（CTMC）。如果对于 $s’ \neq s$，$R_{s,s’}(t) = 0$，则状态 $s$ 是吸收状态。

• 语义 ：一个 ICTMC 诱导一个随机过程