15、隐马尔可夫模型的逻辑与模型检查

隐马尔可夫模型的逻辑与模型检查

1. 路径与概率空间

对于路径 $\sigma$ 和 $i \in N$，$\sigma_s[i] = s_i$ 表示 $\sigma$ 的第 $(i + 1)$ 个状态，$\sigma_o[i] = o_i$ 表示 $\sigma$ 的第 $(i + 1)$ 个观测值。$\sigma[i]$ 表示从 $\sigma_s[i]$ 开始的 $\sigma$ 的后缀路径，即 $(s_i, o_i), (s_{i+1}, o_{i+1}), \cdots$，且 $\sigma[0] = \sigma$。

设 $Path_H$ 表示 $H$ 中所有路径的集合，$Path_H(s)$ 表示 $H$ 中从状态 $s$ 开始的路径集合。在方便时可省略上标 $H$。

通过标准的柱体构造，我们在 $H$ 的路径上定义一个概率空间。对于路径 $(s_0, o_0), (s_1, o_1), \cdots$，由该路径前缀诱导的基本柱体集定义如下：
$C((s_0, o_0), (s_1, o_1), \cdots, (s_n, o_n)) := {\sigma \in Path | \forall i \leq n. \sigma_s[i] = s_i \land \sigma_o[i] = o_i}$
若上下文明确，可用 $C$ 表示该柱体集。$C$ 由所有以 $(s_0, o_0), (s_1, o_1), \cdots, (s_n, o_n)$ 开头的路径 $\sigma$ 组成。

设 $Cyl$ 包含所有集合 $C((s_0, o_0), \cdots, (s_n, o_n))$，其中 $s_0, \cdots, s_n$