18、双层模态逻辑与祖先逻辑：理论研究与证明系统构建

双层模态逻辑与祖先逻辑：理论研究与证明系统构建

1. 双层模态逻辑基础

1.1 克里普克模型与替换引理

在双层模态逻辑的研究中，克里普克模型是核心概念之一。对于任意克里普克模型 (M = \langle F, \langle\hat{e} \phi\rangle {\phi\in W} \rangle)，存在一个 (L_1) - 替换 (\sigma)，满足以下两个重要性质：
- 对于每个 (\phi\in W)、非模态公式 (\psi)，有 (\hat{e} \phi(\psi) = e \phi(\sigma\psi))。
- 对于模态公式 (\delta)，有 (|\delta|_M = e((\sigma\delta)^*))。

证明过程如下：
设 (v) 是一个原子 (L_1) - 公式，考虑原子模态公式 (\square(v, \cdots, v))。根据克里普克模型的定义，(\langle\langle\hat{e} \phi(v)\rangle {\phi\in W}, \cdots, \langle\hat{e} \phi(v)\rangle {\phi\in W}\rangle) 必然在 (\mu_\square) 的定义域内。所以，存在一个 (L_1) - 公式 (\sigma(v))，使得对于每个 (\phi\in W)，有 (\hat{e} \phi(v) = e \phi(\sigma(v)))。这里可能有多个满足此条件的公式 (\sigma(v))，我们任选其中一个即可。然后将 (\sigma) 扩展为一个