28、学术负荷分配整数规划模型与线性规划问题的分析

学术负荷分配整数规划模型与线性规划问题的分析

1. 学术负荷分配整数规划模型分析

在学术负荷分配问题中，我们可以将其看作双目标整数线性规划（ILP）问题以及寻找帕累托最优解的单目标问题。下面介绍相关的参数化问题族及其特性。

1.1 问题族 F1(n) 与算法 A1

当使用算法 A1 解决 F1(n) 中的实例时，算法会构建深度至少为 n - 1 的搜索树，这意味着至少要解决 2n - 1 个线性规划（LP）问题。

对于算法 LD，若采用特定的分支规则，即仅从矩阵 Z 的最后一行选择分支变量（例如选择系数 lij 最高的分数元素），那么解决 F1(n) 中的问题需要 n² + n - 1 次迭代。

1.2 问题族 F2(n)

F2(n) 中的实例与 F1(n) 仅在参数上有所不同。具体参数如下：
- 对于 i < n，ci = α，ai = α + 1；cn = α - 1，an = α。
- 对于 i < n 和所有 j，lij = α + β；lnj = β，其中 α ≥ 3，β > 0 为整数。

寻找帕累托最优解的 ILP 问题形式如下：
最大化 (L(Z) = (\alpha + \beta)\sum_{i = 1}^{n - 1}\sum_{j = 1}^{n}z_{ij} + \beta\sum_{j = 1}^{n}z_{nj})
约束条件为：
- (\alpha \leq \sum_{j = 1}^{n}\alpha z_{ij} \leq \alpha + 1)，i < n
- (\alpha