BZOJ 1101 [POI2007]Zap

最新推荐文章于 2018-08-10 20:54:25 发布

wang3312362136

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分类专栏：莫比乌斯

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莫比乌斯专栏收录该内容

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本文介绍了一道数学题的高效解法，通过使用莫比乌斯函数及其性质来简化计算过程。具体地，文章详细阐述了如何将原问题转化为求解特定形式的双层求和问题，并通过整除分块的方法进一步优化计算效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101

思路

数学题。

题目要求的就是

\sum i = 1 a \sum j = 1 b [gcd (i, j) = d]

$\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[\gcd (i,j)=d]$

我们可以设

a' = ⌊ a d ⌋, b' = ⌊ b d ⌋

$a'=\lfloor\frac{a}{d}\rfloor,b'=\lfloor\frac{b}{d}\rfloor$
即有

\sum i = 1 a' \sum j = 1 b' [gcd (i, j) = 1]

$\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}[\gcd(i,j)=1]$
莫比乌斯函数有一个优美的性质：

\sum d | n μ (d) = [n = 1]

$\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]$

将 $\gcd(i,j)$ 带入上面的 $n$ ，则

\sum_{d ∣ gcd (i, j)} μ (d) = [gcd (i, j) = 1]

$\sum_{d\mid\gcd(i,j)} \mu(d)=[\gcd(i,j)=1]$
带入上面式子，得

\sum i = 1 a' \sum j = 1 b' \sum d ∣ gcd (i, j) μ (d)

$\sum_{i=1}^{a'}\sum_{j=1}^{b'}\sum_{d\mid\gcd(i,j)} \mu(d)$
经过一些操作，我们最终得到了

\sum t = 1 min (a', b') μ (t) ⌊ a ' t ⌋ ⌊ b ' t ⌋

$\sum_{t=1}^{\min(a',b')}\mu(t)\lfloor\frac{a'}{t}\rfloor\lfloor\frac{b'}{t}\rfloor$
如果直接枚举

t t $t$ ，那么肯定会T，考虑

⌊ \frac{a^{'}}{t} ⌋

$\lfloor\frac{a'}{t}\rfloor$ 和

⌊b′t⌋ ⌊ b ′ t ⌋ $\lfloor\frac{b'}{t}\rfloor$ 有很多情况是一样的，整除分块并对

μ(t) μ ( t ) $\mu(t)$ 维护前缀和即可快速得出答案。

时间复杂度：我也不知道是啥啊， $O(\text{能过})$ 。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int maxn=50000;

int mu[maxn+10],p[maxn+10],prime[maxn+10];
int sum[maxn+10],t,a,b,d,tot;

int getmu()
{
  mu[1]=1;
  for(register int i=2; i<=maxn; ++i)
    {
      if(!p[i])
        {
          prime[++tot]=i;
          mu[i]=-1;
        }
      for(register int j=1; (j<=tot)&&(i*prime[j]<=maxn); ++j)
        {
          p[i*prime[j]]=1;
          if(i%prime[j]==0)
            {
              mu[i*prime[j]]=0;
              break;
            }
          mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
  for(register int i=1; i<=maxn; ++i)
    {
      sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    }
  return 0;
}

int main()
{
  getmu();
  scanf("%d",&t);
  while(t--)
    {
      scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
      a/=d;
      b/=d;
      long long ans=0;
      int x=std::min(a,b),pos;
      for(register int i=1; i<=x; i=pos+1)
        {
          pos=std::min(a/(a/i),b/(b/i));
          ans+=1ll*(sum[pos]-sum[i-1])*(a/i)*(b/i);
        }
      printf("%lld\n",ans);
    }
  return 0;
}