BZOJ1101 POI2007 Zap 【莫比乌斯反演】

本文介绍了一个关于整数对问题的算法解决思路,该问题要求找出所有符合条件的整数对(x,y),使得它们的最大公约数等于给定值d。文章详细阐述了使用莫比乌斯反演方法来高效求解此问题的过程。

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BZOJ1101 POI2007 Zap


Description

  FGD正在破解一段密码,他需要回答很多类似的问题:对于给定的整数a,b和d,有多少正整数对x,y,满足x<=a,y<=b,并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学,FGD希望得到你的帮助。

Input

  第一行包含一个正整数n,表示一共有n组询问。(1<=n<= 50000)接下来n行,每行表示一个询问,每行三个正整数,分别为a,b,d。(1<=d<=a,b<=50000)

Output

  对于每组询问,输出到输出文件zap.out一个正整数,表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2
//对于第一组询问,满足条件的整数对有(2,2),(2,4),(4,2)。对于第二组询问,满足条件的整数对有(6,3),(3,3)。


套路莫比乌斯反演

ans=ai=1bj=1[gcd(i,j)==d]ans=∑i=1a∑j=1b[gcd(i,j)==d]

除以d,用a1a1代替ad⌊ad⌋,用用b1b1代替bd⌊bd⌋,得到:

ans=a1i=1b1j=1[gcd(i,j)==1]ans=∑i=1a1∑j=1b1[gcd(i,j)==1]

[gcd(i,j)==1][gcd(i,j)==1]换一下:

ans=a1i=1b1j=1p|gcd(i,j)μ(p)ans=∑i=1a1∑j=1b1∑p|gcd(i,j)μ(p)

ans=a1i=1b1j=1p|i,p|jμ(p)ans=∑i=1a1∑j=1b1∑p|i,p|jμ(p)

把P的枚举提到前面:

ans=min(a1,b1)p=1μ(p)a1pb1pans=∑p=1min(a1,b1)μ(p)⌊a1p⌋⌊b1p⌋

然后以处理一下μμ的前缀和,再下底函数分块计算一下


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500010
int T,a,b,d,tot=0;
bool mark[N]={0};
int pri[N],mu[N],F[N]={0};
void init(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!mark[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<N;j++){
            mark[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++)F[i]=F[i-1]+mu[i];
}
int main(){
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        a/=d;b/=d;
        int ans=0,up=min(a,b);
        for(int i=1,j;i<=up;i=j+1){
            j=min(a/(a/i),b/(b/i));
            ans+=(F[j]-F[i-1])*(a/i)*(b/i);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
} 
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