BZOJ1101 POI2007 Zap 【莫比乌斯反演】

原创于 2018-06-19 14:21:32 发布 · 294 阅读

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#莫比乌斯反演

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莫比乌斯反演

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本文介绍了一个关于整数对问题的算法解决思路，该问题要求找出所有符合条件的整数对(x,y)，使得它们的最大公约数等于给定值d。文章详细阐述了使用莫比乌斯反演方法来高效求解此问题的过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

BZOJ1101 POI2007 Zap

Description

　　FGD正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：对于给定的整数a,b和d，有多少正整数对x,y，满足x<=a，y<=b，并且gcd(x,y)=d。作为FGD的同学，FGD希望得到你的帮助。

Input

　　第一行包含一个正整数n，表示一共有n组询问。（1<=n<= 50000）接下来n行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为a,b,d。（1<=d<=a,b<=50000）

Output

　　对于每组询问，输出到输出文件zap.out一个正整数，表示满足条件的整数对数。

Sample Input

2
4 5 2
6 4 3

Sample Output

3
2
//对于第一组询问，满足条件的整数对有(2,2)，（2,4），（4，2）。对于第二组询问，满足条件的整数对有（6,3），（3,3）。

套路莫比乌斯反演

$ans=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)==d]$

除以d，用 $a^1$ 代替 $\left\lfloor\frac{a}{d}\right\rfloor$ ,用用 $b^1$ 代替 $\left\lfloor\frac{b}{d}\right\rfloor$ ,得到：

$ans=\sum_{i=1}^{a^1}\sum_{j=1}^{b^1}[gcd(i,j)==1]$

把 $[gcd(i,j)==1]$ 换一下：

$ans=\sum_{i=1}^{a^1}\sum_{j=1}^{b^1}\sum_{p|gcd(i,j)}\mu(p)$

$ans=\sum_{i=1}^{a^1}\sum_{j=1}^{b^1}\sum_{p|i,p|j}\mu(p)$

把P的枚举提到前面：

$ans=\sum_{p=1}^{min(a^1,b^1)}\mu(p)\left\lfloor\frac{a^1}{p}\right\rfloor\left\lfloor\frac{b^1}{p}\right\rfloor$

然后以处理一下 $\mu$ 的前缀和，再下底函数分块计算一下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500010
int T,a,b,d,tot=0;
bool mark[N]={0};
int pri[N],mu[N],F[N]={0};
void init(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!mark[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<N;j++){
            mark[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++)F[i]=F[i-1]+mu[i];
}
int main(){
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        a/=d;b/=d;
        int ans=0,up=min(a,b);
        for(int i=1,j;i<=up;i=j+1){
            j=min(a/(a/i),b/(b/i));
            ans+=(F[j]-F[i-1])*(a/i)*(b/i);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}