洛谷P2401 不等数列

题目描述
将1到n任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“>”和“<”。问在所有排列中，有多少个排列恰好有$k$个“<”。答案对2015取模。
注：1~$n$的排列指的是1~$n$这$n$个数各出现且仅出现一次的数列。

输入格式
第一行2个整数$n$,$k$。

输出格式
一个整数表示答案。

输入样例
5 2

输出样例
66

说明
对于30%的数据：$n$<=10
对于100%的数据：$k$<$n$<=1000

思路
令$f_{i,j}$表示前$i$个数中有$j$个小于号的方案总数。设有一个数列是这样的：

$$a<b<c>d<e>f$$ 这个是$f_{6,3}$的一种方案，如何转移到$f_{7,x}$就是问题的关键了。
转移到$f_{7,x}$，就意味着要向这6个数中插一个7，观察它是否会增加（或减少）小于号的数量。如果向这个位置插入7： $$a<b$$ 由于7比原数列任何数都大，那么改变后的数列就是这样：
$$a<7>b$$ 不会增加也不会减少小于号的数量。
那么$f_{i,j}$就可以从$f_{i-1,j}$转移过来。
那么接下来的问题就是：有几种方法可以让$f_{i,j}$从$f_{i-1,j}$转移？
显然，插入每个小于号都可以这样转移，再加上数列开头的部分，一共$j+1$个。
接下来讨论另一种情况，向这个位置插入7：
$$c>d$$ 就变成了：
$$c<7>d$$ 会增加一个小于号的数量。
那么$f_{i,j}$也可以从$f_{i-1,j-1}$转移。
同理，插入每个大于号都可以这样转移，大于号的数量是$(i-1)-j$个，再加上数列结尾的1个，总共$i-j$个。
综上所述，状态转移方程是这样的：
$$f_{i,j}=f_{i-1,j}*(j+1)+f_{i-1,j-1}*(i-j)$$

代码

#include <cstdio>

const int maxn=1000;
const int mo=2015;

int f[maxn+10][maxn+10],n,k;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    f[0][0]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        f[i][0]=1;
        for(int j=1; j<=k; j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j-1]*(i-j)+f[i-1][j]*(j+1);
            f[i][j]%=mo;
        }
    }
    printf("%d\n",f[n][k]);
    return 0;
}