sumit （Mobius 分块）

最新推荐文章于 2025-08-06 19:25:08 发布

w4149

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分类专栏： —————练习赛————— 莫比乌斯分块 —————模板————— —————数论————— 文章标签：数论 Mobius 分块

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此博客介绍了如何解决一个数学问题，该问题涉及到计算一个由最大值为10^7的n行m列矩阵的每个元素（元素值为行号和列号的最大公约数）的总和，并对10086取模。题目给出了输入输出格式和样例，并提示了数据范围。解决方案可能涉及到数论中的Mobius函数和分块技术。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem 2. sumit
Time limit: 1 second
Memory limit: 256 MB

Mr. H 最近画了一个很大的表格，这个表格有n 行m 列，其中第i 行第j 列的为元素aij，且：
aij = gcd(i; j)
Mr. H 现在很好奇整个表格中数的和是多少，你只需要输出这个和模10086。

Input
第1 行1 个整数T 表示数据组数。
接下来T 行，每行两个整数n m，表示表格的大小。

Output
对于每个表格，输出其所有元素的和对10086 取模后的结果。

Sample
sumit.in
2
2 2
3 4
sumit.out
5
16

Note
• 对于30% 的数据，1 <= n;m <= 100；
• 对于另外30% 的数据，1 <= n = m <= 10^4；
• 对于100% 的数据，1 <= n;m <= 10^7，1 <= T <= 1000。

思路：
这里写图片描述

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;

const int mod = 10086;

int primes[10000010],isnot[10000010],phi[10000010];
LL sum[10000010];
int ptot=0,n,m,T;

void init(int n){
    isnot[1] = 1; phi[1] = 1;
    for(int i=2; i<=n; i++){
        if(!isnot[i]){
            phi[i] = i-1;
            primes[ptot++] = i;
        }
        for(int t=0; t<ptot; t++){
            int j = primes[t] * i;
            if(j > n) break ;
            isnot[j] = 1;
            phi[j] = phi[i] * phi[primes[t]];
            if(i % primes[t] == 0){
                phi[j] = phi[i] * primes[t];
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) sum[i] = (sum[i-1] + phi[i]);
}

int main(){   
    freopen("sumit.in", "r", stdin);
    freopen("sumit.out", "w", stdout);
    init(10000005); 
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        LL ans = 0, pos = 0;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i=1; i<=min(n,m); i=pos+1){
            pos = min(n / (n / i), m / (m / i));
            ans = ( (sum[pos] - sum[i-1]) * (n / i) * (m / i) + ans) % mod;
        }       
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}