欧拉函数笔记

2.欧拉函数O(n）打表模板：

const int maxn=1e6+10;
bool check[maxn+10];
int phi[maxn+10],prime[maxn+10],tot;
void init(){
    memset(check,0,sizeof check);
    phi[1]=1;tot=0;
    for(int i=2;i<=maxn;i++){
        if(check[i]==0){
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*prime[j]>maxn)break;
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){//prime[j]是i的因子 
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else 
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

欧拉函数性质：
1.通式

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
2.φ(1)=1
3.若n是质数p的k次幂，

4.若m,n互质

5.若n为质数则

6.小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)
7.当n>2时，φ(n)是偶数
8.$n=\sum d\mid n\phi (d)$,即n的因子（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n。
9.如果a是素数且n是a倍数 , 有 $\varphi (n\ast a)=\varphi (n)\ast a$
10.如果n是奇数 , 有$\varphi (2\ast n)=\varphi (n)$
11.如果n和m是素数 , 有$\varphi (n\ast m)=n\ast m-1$