欧拉函数性质证明 ： n所有约数的欧拉函数和等于n

\(\displaystyle \sum_{d|n}\varphi(d) = n\)

Proof:

我们考虑从1~n的所有 $ gcd(x,d)=n/d$的x
可以推出 $ gcd(n,x)=k-> gcd(n/k,x/k)=1(k|n,k|x)$
如果 \(gcd(n/k,a)=1->gcd(n,ad)=k\)
于是我们枚举所有的约数d使得\(d|n\)就必定把所有1到n中的数都恰好统计了一遍
然后结果就是答案了。