初等数论 课堂笔记 第三章 -- 欧拉函数一节的若干练习

1. 计算$\phi \left(60\right)$。
   解
     将$60$写成标准分解式
   $$60=2^2\times 3\times 5$$

   1. 法一（计算过程中出现分式）
      $$\phi \left(60\right)=60\times \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=60\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=16$$
   2. 法二（计算过程中不出现分式）
      $$\phi \left(60\right)=\phi \left(2^2\right)\phi \left(3\right)\phi \left(5\right)=\left(2^2-2\right)\left(3-1\right)\left(5-1\right)=2\times 2\times 4=16$$
      
      

2. 设$n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$，$\phi \left(n\right)=8$，求$n$。
   解
     设$n$的标准分解式为
   $$n={p_1}^{e_1}\cdots {p_k}^{e_k}$$
   则有
   φ ( n ) = [ p 1 e 1 − 1 ( p 1 − 1 ) ] ⋯ [ p k e k − 1 ( p k − 1 ) ] = 8 ⇒ ( p i − 1 ) ∣ 8   ⇒ p i − 1 ≤ 8 ,   p i ≤ 9 ⇒   p i ∈ { 2 , 3 , 5 , 7 } ⇒ p i − 1 ∈ { 1 , 2 , 4 , 6 } \begin{aligned} & \varphi \left( n \right)=\left[ { {p}_{1}}^{ { {e}_{1}}-1}\left( { {p}_{1}}-1 \right) \right]\cdots \left[ { {p}_{k}}^{ { {e}_{k}}-1}\left( { {p}_{k}}-1 \right) \right]=8 \\ & \Rightarrow \left. \left( { {p}_{i}}-1 \right) \right|8\text{ }\Rightarrow { {p}_{i}}-1\le 8,\text{ }{ {p}_{i}}\le 9 \\ & \Rightarrow \text{ }{ {p}_{i}}\in \left\{ 2,3,5,7 \right\} \\ & \Rightarrow { {p}_{i}}-1\in \left\{ 1,2,4,6 \right\} \\ \end{aligned} ​φ(n)=[p1​e1​−1(p1​−1)]⋯[pk​ek​−1(pk​−1)]=8⇒(pi​−1)∣8 ⇒pi​−1≤8, pi​≤9⇒ pi​∈{ 2,3,5,7}⇒pi​−1∈{ 1,2,4,6}​
   由于$6\cancel{|}8$，因此有$p_i-1\ne 6\Rightarrow p_i\ne 7$。因此设$n=2^a{3}^b{5}^c$，$a,b,c\ge 0$。
   若$b\ge 2,3|3^{b-1}|\phi \left(3^b\right)|8$，矛盾，于是有 b ∈ { 0 , 1 } b\in \left\{ 0,1 \right\} b∈{ 0,1}
   若$c\ge 2$，$5|5^{c-1}|\phi \left(5^c\right)|8$，矛盾，于是有 c ∈ { 0 , 1 } c\in \left\{ 0,1 \right\} c∈{ 0,1}
   进行分类讨论如下。

   1. 若$b=c=0$
      1. 当$a=0$时，$n=1$
         $$\phi \left(n\right)=\phi \left(1\right)=1\ne 8$$
      2. 当$a\ne 0$时，$n=2^a$
         $$\phi \left(n\right)=2^{a-1}\left(2-1\right)=2^{a-1}=8\Rightarrow a-1=3\Rightarrow a=4\Rightarrow n=2^4=16$$
   2. 若$b=0,c=1$
      1. 当$a=0$时，有$n=5$
         $$\phi \left(n\right)=\phi \left(5\right)=4$$
      2. 当$a\ne 0$时，则有$n=2^a\times 5$
         $$\phi \left(n\right)=2^{a-1}\left(2-1\right)\left(5-1\right)=2^{a+1}=8\Rightarrow a+1=3\Rightarrow a=2\Rightarrow n=2^2\cdot 5=20$$
   3. 若$b=1,c=0$
      1. 当$a=0$时，有$n=3$
         $$\phi \left(n\right)=\phi \left(3\right)=2$$
      2. 当$a\ne 0$时，则有$n=2^a\times 3$
         $$\phi \left(n\right)=2^{a-1}\left(2-1\right)$$