43、布尔函数与完美非线性多项式研究

布尔函数与完美非线性多项式研究

1. 迈奥拉纳 - 麦克法兰类中的负弯曲函数

在迈奥拉纳 - 麦克法兰类的负弯曲函数研究中，对于特定函数的性质有诸多结论。
对于函数 (f)，当满足一定条件时，它关于 (U \oplus U) 和 (W \oplus W) 是弯曲的。具体来说，对于任意 (x_S \in W)，函数 (\sigma_{x_S}(x_T)) 是 (U) 上的置换；对于任意 (x_T \in U)，函数 (\sigma_{x_T}(x_S)) 是 (W) 上的置换。根据引理，可得出 (f) 的相关弯曲性质，并且其关于 (W \oplus W) 的部分对偶函数可表示为：
(\tilde{f} {W\oplus W} (x_T, x_S, y_T, y_S) = \sigma {z_S}(x_T) \cdot y_T + x_S \cdot z_S + g(x_T, z_S))，其中 (z_S = \sigma_{x_T}^{-1}(y_S))。

下面通过一个例子来说明定理的应用：
- 示例 ：在定理 4 中取 (m = 3) 和 (k = 2)，则函数 (f) 为 (f(x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3) = \sigma(x_1, x_2, x_3) \cdot (y_1, y_2, y_3) + g(x_1, x_2, x_3))，其中 (\sigma(x_1, x_2, x_3) = (x_1, x_1 + \psi(x_2), \varphi(x_2) + x_3))，(g(x_1, x_2, x_3) = h(x_2))。
当 (S = {0, 1, 2})，即 (W = V) 时，应用定理 8，(\tilde{f}_{W\oplus W}) 是 (f) 的通常对偶函数，且 (\tilde{f}(x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3) = \sigma’(y_1, y_2, y_3) \cdot (x_1, x_2, x_3) + g’(y_1, y_2, y_3))，其中 (\sigma’(y_1, y_2, y_3) = (y_1, \psi^{-1}(y_1 + y_2), y_3 + \varphi(\psi^{-1}(y_1 + y_2))))，(g’(y_1, y_2, y_3) = h(\psi^{-1}(y_1 + y_2)))，根据定理 3，函数 (\tilde{f}) 是负弯曲的。

2. 度数的界限

对于布尔函数的度数，有如下结论：
- 当 (n > 1) 时，(2n) 个变量的弯曲布尔函数的最大代数度数为 (n)。
- 当 (n \in {2, 3}) 时，(2n) 个变量的弯曲 - 负弯曲函数的最大度数也为 (n)。例如，三次函数 (f : V_6 \to F_2)，(f(x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3) = y_1(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1 + x_2) + y_2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3) + y_3(x_1 + x_3)) 是弯曲 - 负弯曲的，且该函数属于迈奥拉纳 - 麦克法兰类。

下面定理给出了迈奥拉纳 - 麦克法兰类型的弯曲 - 负弯曲函数度数的界限：
- 定理 10 ：设 (\sigma) 是 (V_n) 上的置换，(g : V_n \to F_2) 是任意布尔函数。若函数 (f : V_n \oplus V_n \to F_2) 定义为 (f(x, y) = \sigma(x) \cdot y + g(x)) 是负弯曲的，那么当 (n > 3) 时，(f) 的度数至多为 (n - 1)。

该定理的证明需要一个引理：
- 引理 11 ：(V_n) 上负弯曲函数的负哈达玛变换只包含 (\omega^n i^k) 形式的值，其中 (\omega = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}) 且 (k \in Z_4)。

证明过程 ：
首先，通过一系列变换得到 (N(f)(u, v)) 的表达式：
(N(f)(u, v) = 2^{-n} \sum_{x,y\in V_n} (-1)^{\sigma(x) \cdot y + g(x) + u \cdot x + v \cdot y} i^{wt(x) + wt(y)})
(= 2^{-n} \sum_{x\in V_n} (-1)^{g(x) + u \cdot x} i^{wt(x)} \sum_{y\in V_n} (-1)^{(\sigma(x) + v) \cdot y} i^{wt(y)})
(= 2^{-\frac{n}{2}} \omega^n \sum_{x\in V_n} (-1)^{g(x) + u \cdot x} i^{wt(x) - wt(\sigma(x) + v)})
(= 2^{-\frac{n}{2}} \omega^n i^{-wt(v)} \sum_{x\in V_n} (-1)^{g(x) + u \cdot x + v \cdot \sigma(x)} i^{wt(x) - wt(\sigma(x))})
(= 2^{-\frac{n}{2}} \omega^n i^{-wt(v)} \sum_{x\in V_n} (-1)^{g(x) + u \cdot x + v \cdot \sigma(x)} i^{w(x)})
其中 (w(x) = \sum_{j = 1}^{n} (x_j + 3\sigma_j(x)) \pmod{4})，(\sigma_j(x)) 是 (\sigma(x)) 的第 (j) 个分量。

将 (w(x)) 进行 2 - 进展开，(w(x) = l(x) + 2q(x))，其中 (l(x) = \sum_{j = 1}^{n} (x_j + \sigma_j(x)) \pmod{2})，(q(x) = \sum_{j = 1}^{n} \sigma_j(x) + \sum_{1\leq j<k\leq n} [(x_jx_k + \sigma_j(x)\sigma_k(x)] + \sum_{1\leq j,k\leq n} x_j\sigma_k(x) \pmod{2})。

然后得到：
(\Re(\omega^{-n} i^{wt(v)} N(f)(u, v)) = 2^{-\frac{n}{2} - 1} \sum_{x\in V_n} (-1)^{g(x) + q(x) + v \cdot \sigma(x) + u \cdot x}[1 + (-1)^{l(x)}] = \frac{1}{2}[H(h_v)(u) + H(h_{\overline{v}})(\overline{u})])
(\Im(\omega^{-n} i^{wt(v)} N(f)(u, v)) = \frac{1}{2}[H(h_v)(u) - H(h_{\overline{v}})(\overline{u})])

根据假设和引理 11，分 (n) 为偶数和奇数两种情况讨论：
- 当 (n) 为偶数时，(\omega^{-n}) 是 4 次单位根，(h_v) 对于每个 (v \in V_n) 必须是弯曲的，对于 (n > 2)，(h_v) 的度数至多为 (\frac{n}{2})。
- 当 (n) 为奇数时，(\omega^{-n}) 是 8 次单位根，(h_v) 的哈达玛谱只包含值 (0) 和 (\pm\sqrt{2})，其度数至多为 (\frac{n + 1}{2})。

综上，对于 (n \geq 3)，(h_v(x)) 的度数至多为 (\lceil\frac{n}{2}\rceil)，进而得出 (v \cdot \sigma(x)) 的度数有界，最终证明当 (n > 3) 时，(q) 和 (g) 的度数有界为 (n - 1)。

3. 完美非线性多项式

在有限域上的函数研究中，完美非线性多项式是重要的研究对象。
- 函数的差分均匀性 ：对于正整数 (n) 和素数 (p)，函数 (F) 从域 (F_{p^n}) 到自身，若对于每个 (a \neq 0) 和每个 (b) 在 (F_{p^n}) 中，方程 (F(x + a) - F(x) = b) 至多有 (\delta) 个解，则称 (F) 是差分 (\delta) - 均匀的。差分 1 - 均匀的函数称为完美非线性（PN）或平面函数，PN 函数仅在 (p) 为奇数时存在；对于 (p) 为偶数，差分 2 - 均匀的函数称为几乎完美非线性（APN）函数，它们具有最低可能的差分均匀性。

函数之间存在多种等价关系，且差分均匀性在这些等价关系下是不变的：
- 线性函数与仿射函数 ：函数 (F) 若满足 (F(x) = \sum_{0\leq i < n} a_i x^{p^i})，(a_i \in F_{p^n})，则称为线性函数；线性函数与常数的和称为仿射函数。
- 等价关系 ：
- 两个函数 (F) 和 (F’) 是仿射等价（或线性等价）的，如果 (F’ = A_1 \circ F \circ A_2)，其中 (A_1)，(A_2) 是仿射（或线性）置换。
- 两个函数 (F) 和 (F’) 是扩展仿射等价（EA - 等价）的，如果 (F’ = A_1 \circ F \circ A_2 + A)，其中 (A)，(A_1)，(A_2) 是仿射的，且 (A_1)，(A_2) 是置换。
- 两个映射 (F) 和 (F’) 是卡莱特 - 沙尔潘 - 齐诺维耶夫等价（CCZ - 等价）的，如果对于 (F_{p^n}^2) 的某个仿射置换 (L)，(F) 的图像的像为 (F’) 的图像，即 (L(G_F) = G_{F’})，其中 (G_F = {(x, F(x)) | x \in F_{p^n}}) 和 (G_{F’} = {(x, F’(x)) | x \in F_{p^n}})。差分均匀性在 CCZ - 等价下是不变的，EA - 等价是 CCZ - 等价的特殊情况，任何置换与其逆是 CCZ - 等价的。对于 PN 函数，CCZ - 等价与 EA - 等价是一致的。

几乎所有已知的平面函数都是 Dembowski - Ostrom（DO）多项式，定义为 (F(x) = \sum_{0\leq k,j < n} a_{kj} x^{p^k + p^j})。当 (p) 为奇数时，平面 DO 多项式与交换半域的概念密切相关：
- 半域相关概念 ：
- 具有左右分配律且无零因子的环称为预半域，具有乘法单位元的预半域称为半域。任何有限预半域可表示为 (S = (F_{p^n}, +, \star))，其中 ((F_{p^n}, +)) 是 (F_{p^n}) 的加法群，(x \star y = \varphi(x, y))，(\varphi) 是从 (F_{p^n}^2) 到 (F_{p^n}) 的函数。
- 两个预半域 (S_1 = (F_{p^n}, +, *)) 和 (S_2 = (F_{p^n}, +, \star)) 是同构的，如果存在 (F_{p^n}) 上的三个线性置换 (L)，(M)，(N)，使得 (L(x * y) = M(x) \star N(y)) 对于任何 (x)，(y \in F_{p^n}) 成立。若 (M = N)，则 (S_1) 和 (S_2) 是强同构的。

已知的一些平面 DO 多项式及其对应的交换半域如下表所示：
|序号|平面 DO 多项式|对应交换半域|
| ---- | ---- | ---- |
|(i)| (x^2) over (F_{p^n})|有限域 (F_{p^n})|
|(ii)| (x^{p^t + 1}) over (F_{p^n})，(n / \gcd(t, n)) odd|Albert 的交换扭曲域|
|(iii)| 函数 over (F_{p^{2k}})|Dickson 半域|
|(iv)| (x^{10} \pm x^6 - x^2) over (F_{3^n})，(n) odd|Coulter - Matthews 和 Ding - Yuan 半域|
|(v)| 函数 over (F_{3^{2k}})，(k) odd|Ganley 半域|
|(vi)| 函数 over (F_{3^{2k}})|Cohen - Ganley 半域|
|(vii)| 函数 over (F_{3^{10}})|Penttila - Williams 半域|
|(viii)| 函数 over (F_{3^8})|Coulter - Henderson - Kosick 半域|

除了 DO 多项式，已知的非 DO 多项式的 PN 函数是幂函数 (x^{\frac{3^t + 1}{2}}) over (F_{3^n})，其中 (t) 是奇数且 (\gcd(t, n) = 1)。

下面介绍新的无限类完美非线性 DO 多项式：
- 新类 (i*) ：((bx)^{p^s + 1} - ((bx)^{p^s + 1})^{p^k} + \sum_{i = 0}^{k - 1} c_i x^{p^i(p^k + 1)})，其中 (\sum_{i = 0}^{k - 1} c_i x^{p^i}) 是 (F_{p^n}) 上的置换，系数在 (F_{p^k}) 中，(b \in F_{p^n}^ )，且 (\gcd(k + s, 2k) = \gcd(k + s, k))，(\gcd(p^s + 1, p^k + 1) \neq \gcd(p^s + 1, \frac{p^k + 1}{2}))。
- 新类 (ii )* ：(bx^{p^s + 1} + (bx^{p^s + 1})^{p^k} + cx^{p^k + 1} + \sum_{i = 1}^{k - 1} r_i x^{p^{k + i} + p^i})，其中 (b \in F_{p^n}^ ) 不是平方数，(c \in F_{p^n} \setminus F_{p^k})，(r_i \in F_{p^k})，(0 \leq i < k)，且 (\gcd(k + s, n) = \gcd(k + s, k))。

这些新的 PN 函数通常与之前已知的 PN 映射是 CCZ - 不等价的，并且定义了新的交换半域。

4. 新的 PN 多项式族

通过对 Ness 给出的 (p \leq 7)，(n \leq 8) 的平面 DO 三项式的研究，得到了以下平面 DO 多项式族：
- 定理 1 ：设 (p) 是奇素数，(s) 和 (k) 是正整数，满足 (\gcd(p^s + 1, p^k + 1) \neq \gcd(p^s + 1, \frac{p^k + 1}{2})) 且 (\gcd(k + s, 2k) = \gcd(k + s, k))。设 (n = 2k)，(b \in F_{p^n}^*)，(\sum_{i = 0}^{k - 1} c_i x^{p^i}) 是 (F_{p^n}) 上的置换，系数在 (F_{p^k}) 中。则函数 (F(x) = (bx)^{p^s + 1} - ((bx)^{p^s + 1})^{p^k} + \sum_{i = 0}^{k - 1} c_i x^{p^i(p^k + 1)}) 是 (F_{p^n}) 上的 PN 函数。

证明过程 ：
因为 (F) 是 DO 多项式，所以若对于任何 (a \in F_{p^n}^*)，方程 (F(x + a) - F(x) - F(a) = 0) 只有 (0) 解，则 (F) 是 PN 函数。
(\Delta(x) = F(x + a) - F(x) - F(a))
(= b^{p^s + 1}(ax^{p^s} + a^{p^s}x) - b^{p^k(p^s + 1)}(a^{p^k}x^{p^{k + s}} + a^{p^{k + s}}x^{p^k}) + \sum_{i = 0}^{k - 1} c_i(a^{p^i}x^{p^{k + i}} + a^{p^{k + i}}x^{p^i}))

(\Delta(x) = 0) 的任何解也是 (\Delta(x) + \Delta(x)^{p^k} = 0) 和 (\Delta(x) - \Delta(x)^{p^k} = 0) 的解，即：
(\sum_{i = 0}^{k - 1} c_i(a^{p^i}x^{p^{k + i}} + a^{p^{k + i}}x^{p^i}) = 0)
(b^{p^s + 1}(ax^{p^s} + a^{p^s}x) = b^{p^k(p^s + 1)}(a^{p^k}x^{p^{k + s}} + a^{p^{k + s}}x^{p^k}))

由于 (\sum_{i = 0}^{k - 1} c_i x^{p^i}) 是置换，所以 (\sum_{i = 0}^{k - 1} c_i(a^{p^i}x^{p^{k + i}} + a^{p^{k + i}}x^{p^i}) = 0) 意味着 (ax^{p^k} = -a^{p^k}x)。

将 (ax^{p^k} = -a^{p^k}x) 代入 (b^{p^s + 1}(ax^{p^s} + a^{p^s}x) = b^{p^k(p^s + 1)}(a^{p^k}x^{p^{k + s}} + a^{p^{k + s}}x^{p^k})) 中，经过一系列推导得到：
(x^{p^s - 1} = - \frac{b^{p^s + 1}a^{p^s} + b^{p^k(p^s + 1)}a^{p^{k + s + p^k - 1}}}{b^{p^s + 1}a + b^{p^k(p^s + 1)}a^{p^{k + s + p^k - p^s}}} = -a^{p^s - 1})

假设对于某个非零 (a)，不等式 (b^{(p^k - 1)(p^s + 1)}a^{p^{k + s + p^k - p^s - 1}} \neq -1) 不成立，即 ((ba)^{(p^k - 1)(p^s + 1)} = -1)，会得出矛盾。

令 (y = \frac{x}{a})，得到 (y^{p^k - 1} = y^{p^s - 1} = -1)。因为 (n = 2k)，(y^{p^k - 1} = -1) 意味着 (y^{p^{k + s}} = y)，即 (y \in F_{p^{k + s}})。若 (\gcd(k + s, 2k) = \gcd(k + s, k))，则 (y \in F_{p^{\gcd(k + s, k)}})，这与 (y^{p^k - 1} = 1 \neq -1)（对于任何 (y \neq 0)）矛盾。所以，(\Delta(x) = 0) 的唯一解是 (x = 0)。

下面用 mermaid 绘制一个流程图来展示这个证明过程：

graph TD;
    A[开始] --> B[计算\(\Delta(x)\)];
    B --> C[\(\Delta(x)=0\)的解也是\(\Delta(x)+\Delta(x)^{p^k}=0\)和\(\Delta(x)-\Delta(x)^{p^k}=0\)的解];
    C --> D[由\(\sum_{i = 0}^{k - 1} c_i(a^{p^i}x^{p^{k + i}} + a^{p^{k + i}}x^{p^i}) = 0\)推出\(ax^{p^k}=-a^{p^k}x\)];
    D --> E[代入并推导\(x^{p^s - 1}\)的表达式];
    E --> F[假设\((ba)^{(p^k - 1)(p^s + 1)} = -1\)得出矛盾];
    F --> G[令\(y = \frac{x}{a}\)得到\(y^{p^k - 1} = y^{p^s - 1} = -1\)];
    G --> H[根据\(n = 2k\)推出\(y \in F_{p^{k + s}}\)];
    H --> I[由\(\gcd(k + s, 2k) = \gcd(k + s, k)\)推出\(y \in F_{p^{\gcd(k + s, k)}}\)产生矛盾];
    I --> J[得出\(\Delta(x) = 0\)的唯一解是\(x = 0\)];
    J --> K[结束];

综上所述，本文围绕布尔函数的负弯曲性质、度数界限以及完美非线性多项式展开研究，得到了迈奥拉纳 - 麦克法兰类负弯曲函数的相关性质和度数界限，同时介绍了新的完美非线性 DO 多项式族及其性质，这些研究成果对于密码学等领域具有重要意义。

布尔函数与完美非线性多项式研究

5. 新多项式族的意义与应用潜力

新提出的完美非线性（PN）多项式族具有重要的意义和潜在的应用价值，以下从几个方面进行阐述：

5.1 密码学应用

在密码学中，具有低差分均匀性的函数至关重要。新的 PN 多项式族由于其特殊的性质，能够为密码系统提供更高的安全性。例如，在对称加密算法中，使用这些 PN 函数可以增强算法抵抗差分攻击的能力。具体来说，当加密算法中的置换层采用这些 PN 函数时，攻击者更难通过分析输入输出的差分来破解密钥。

5.2 半域理论拓展

新的 PN 函数定义了新的交换半域。交换半域在代数学和编码理论中有着广泛的应用。这些新的交换半域为相关理论的研究提供了新的研究对象，有助于推动半域理论的进一步发展。例如，在编码理论中，交换半域可以用于构造新的纠错码，提高通信系统的可靠性。

5.3 函数等价性研究

证明新的 PN 函数与之前已知的 PN 映射 CCZ - 不等价，丰富了函数等价性的研究内容。函数等价性的研究有助于我们更好地理解不同函数之间的关系，为函数的分类和构造提供理论支持。通过研究这些新函数的等价性，我们可以发现更多不同类型的函数，进一步拓展函数的研究领域。

6. 未来研究方向

基于上述研究，未来还有许多值得深入探索的方向：

6.1 更多 PN 函数的构造

虽然已经提出了新的无限类 PN 函数，但仍然可以继续探索其他可能的构造方法。可以从已知的 APN 函数类出发，尝试将其扩展到奇数特征域上，构造更多的 PN 函数。例如，可以研究不同的扩展方式，寻找新的函数形式，以满足不同的应用需求。

6.2 等价性的深入研究

进一步研究函数的等价性，特别是 CCZ 等价性和 EA 等价性之间的关系。可以探索在不同条件下，这两种等价性的具体表现和差异。此外，还可以研究如何更高效地判断两个函数是否等价，为函数的分类和应用提供更便捷的方法。

6.3 新交换半域的性质研究

对于新定义的交换半域，需要深入研究其各种性质，如核的结构、自同构群等。这些性质的研究有助于我们更好地理解交换半域的本质，为其在不同领域的应用提供理论基础。例如，通过研究交换半域的自同构群，可以设计出更高效的编码算法。

7. 总结

本文围绕布尔函数和完美非线性多项式展开了深入研究：
- 在布尔函数方面，研究了迈奥拉纳 - 麦克法兰类中的负弯曲函数，给出了其部分对偶函数的表达式，并证明了该类弯曲 - 负弯曲函数在 (n > 3) 时度数的界限。
- 在完美非线性多项式方面，介绍了函数的差分均匀性和多种等价关系，列举了已知的平面 DO 多项式及其对应交换半域。同时，提出了新的无限类完美非线性 DO 多项式，并证明了其 PN 性质。

这些研究成果不仅丰富了布尔函数和完美非线性多项式的理论体系，还为密码学、代数学和编码理论等领域提供了新的研究对象和方法。未来的研究可以沿着新函数构造、等价性研究和交换半域性质研究等方向继续深入，有望取得更多有价值的成果。

以下是一个总结本文主要内容的表格：
|研究内容|主要成果|
| ---- | ---- |
|负弯曲函数|给出部分对偶函数表达式，证明 (n > 3) 时度数界限|
|完美非线性多项式|提出新无限类 PN 函数，证明其 PN 性质，定义新交换半域|
|函数等价性|研究多种等价关系，证明新 PN 函数与已知映射 CCZ - 不等价|

最后，用 mermaid 绘制一个流程图来展示未来研究方向的关系：

graph LR;
    A[新 PN 函数构造] --> B[函数等价性深入研究];
    A --> C[新交换半域性质研究];
    B --> C;

这个流程图表明，新 PN 函数的构造为函数等价性和交换半域性质的研究提供了新的对象，而函数等价性的研究又有助于更好地理解新交换半域的性质。三者相互关联，共同推动相关领域的研究发展。