3、关于具有最大可能非线性的弹性布尔函数

关于具有最大可能非线性的弹性布尔函数

一、引言

流密码系统中，常见的一种类型是多个线性反馈移位寄存器（LFSRs）通过非线性布尔函数组合。这个布尔函数需满足一些标准以抵抗不同攻击，同时要便于硬件实现。以下是布尔函数用于流密码应用时的重要属性：
1. 平衡性 ：布尔函数输出 0 和 1 的概率相同。
2. 良好的相关免疫性（m 阶） ：布尔函数的输出与任意 m 个输入的组合在统计上相互独立。平衡的 m 阶相关免疫布尔函数称为 m - 弹性函数。
3. 良好的非线性 ：布尔函数与任意仿射函数的距离要足够大。
4. 高代数次数 ：布尔函数的代数范式（ANF）的次数要足够大。
5. 每个变量的高代数次数 ：布尔函数的每个变量在 ANF 中都要出现在长度足够大的项中。
6. 便于硬件实现 ：布尔函数的硬件实现方案要足够简单。

研究发现，对这些标准单独研究或成对研究时，存在一些权衡关系。例如，具有最大可能非线性的布尔函数不能是平衡的；Siegenthaler 不等式表明，若函数 f 是 m 阶相关免疫函数，则 deg(f) ≤ n - m，若 f 是 m - 弹性函数（m ≤ n - 2），则 deg(f) ≤ n - m - 1。

为了优化布尔函数的性能，研究者通常固定变量数量 n 和相关免疫阶数 m，然后尝试优化其他密码学重要参数。

二、预备概念和术语