2、布尔函数与LFSR流密码连接多项式选择研究

布尔函数与LFSR流密码连接多项式选择研究

1. 布尔函数相关研究

在布尔函数与变量的相关性研究中，我们从特定情况入手分析。
- k = 4的情况 ：假设(k = 4)，(a(i_0))、(a(i_1))、(a(i_2))、(a(i_3))非零，其余(a(i)=0)。根据引理2和相关条件，可知(a(i_t)=\pm2^{r - 1})（(0\leq t\leq3)）。当在特定等式中取(j = 0)时，得到(a(i_0)+a(i_1)+a(i_2)+a(i_3)=2^r)，由此可推出({a(i_0),a(i_1),a(i_2),a(i_3)}=(2^{r - 1},2^{r - 1},2^{r - 1}, - 2^{r - 1}))（不考虑顺序）。通过进一步的分析，还能得出({i_0(s),i_1(s),i_2(s),i_3(s)}\in V_4)（(0\leq s\lt r)）。若存在特殊情况，如(i_0(0)=0)，(i_1(0)=i_2(0)=i_3(0)=1)，会得出与已知条件矛盾的结果。反之，若条件({i_0(s),i_1(s),i_2(s),i_3(s)}\in V_4)成立，对于任意(0\leq j\lt2^r)，能证明相关定理的结论成立。
- (5\leq k\leq8)的情况
- (k = 5)的排除 ：假设(a(i_t))（(0\leq t\lt k)）非零且(i_t(0))（(0\leq t\lt k)）不全相同。若(i_t(0))中恰有一个(0)，会得到与引理2矛盾的结果；若恰有三个(0)，根据引理3可知这种情况也不可能，所以(k\neq5)。