22、布尔函数、序列与多项式基：理论与应用解析

布尔函数、序列与多项式基：理论与应用解析

在密码学和数字信号处理等领域，布尔函数、线性反馈移位寄存器（LFSR）序列以及离散傅里叶变换（DFT）等概念有着广泛的应用。本文将深入探讨这些概念的相关理论，包括布尔函数的表示、多项式基的计算以及低次乘法器的特征刻画等内容。

1. 基本概念与定义

在开始详细讨论之前，我们需要明确一些基本的概念和定义。
- 汉明重量 ：用 ( w(s) ) 表示 ( s ) 的汉明重量，即 ( s ) 中非零元素的个数。这里的 ( s ) 可以是二进制形式表示的正整数、( k ) 维二进制向量，或者是用二进制向量 ( (f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_{2^n - 1})) ) 表示的 ( n ) 元布尔函数。
- 代数次数 ：对于从 ( F_{2^n} ) 到 ( F_2 ) 的多项式函数 ( f(x) = \sum_{i = 0}^{2^n - 1} d_i x^i )，其中 ( d_i \in F_{2^n} )，( f ) 的代数次数定义为 ( \max_{i: d_i \neq 0} w(i) )，记为 ( \text{deg}(f) )。

2. 线性反馈移位寄存器（LFSR）序列

LFSR 序列是一种重要的序列类型，在密码学和通信领域有着广泛的应用。
- LFSR 序列的定义 ：设 ( v(x) = x^n + c_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + c_1 x + 1 ) 是 ( F_2 ) 上的多项式。序列 ( a = { a_t