27、生长图模型与优化模型解析

生长图模型与优化模型解析

1. 生长图模型基础

在研究生长图模型时，我们需要考虑节点链接数量的增长情况。由于节点的链接数量随时间增加，且总链接数随时间线性增长，所以节点的度增长不会快于时间 (t)，即 (0 < a_i/c < 1) 对所有节点 (i) 都成立。

我们还可以通过另一种方式来确定常数 (c) 的值。根据给定时间 (t) 时所有在 (t’\leq t) 时刻引入的节点，若节点在 (t’) 时刻以吸引力 (a) 引入，在 (t) 时刻的度为 (k(t, t’, a) = m(t/t’)^{a/c})，则可以得到：
(\sum_{j} a_jk_j = \int_{0}^{\infty} da \rho(a) \int_{1}^{t} a k(t, t’, a) dt’ = \int_{0}^{\infty} da \rho(a) \int_{1}^{t} a m (\frac{t}{t’})^{a/c} dt’ = m \int_{0}^{\infty} da \rho(a) \frac{a}{1 - \frac{a}{c}} (t - t^{a/c}))。
由于假设 (a/c < 1)，最终可得：
(c = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{mt} \sum_{j} a_jk_j = \int da \rho(a) \frac{a}{1 - \frac{a}{c}})，这与之前的某个关系式是一致的。

2. 边界收费优化（BTO）模型

2.1 模型定义

边界收费优化（BTO）模型是一种用于生成具有无标度度分布的树的一维简单模型。设 (N) 为正整数，(