18、广义随机图与万维网的网络特性

广义随机图与万维网的网络特性

1. 广义随机图概述

许多真实网络，如万维网中的超链接网络，其度分布 $p_k$ 在度 $k$ 较大时遵循幂律。这意味着，尽管大多数节点的链接数较少，但找到具有非常大度的节点的概率不可忽略。而之前研究的 Erdős–Rényi 随机图模型和小世界模型所生成的网络，其度分布在平均度 $\langle k\rangle$ 处达到峰值，并在度 $k$ 较大时迅速下降。

为了重现现实世界网络的度分布，需要对 Erdős–Rényi 模型进行推广。其中包括配置模型，这是一种生成具有任意形式 $p_k$ 的随机图的方法。还会推导 Molloy 和 Reed 准则，用于确定具有给定 $p_k$ 的随机图是否存在巨分量。同时，会得出一些关于聚类系数和特征路径长度的表达式，这些表达式与平均度 $\langle k\rangle$ 和度分布的二阶矩 $\langle k^2\rangle$ 有关。特别地，会利用这些结果来研究具有幂律度分布 $p_k \sim k^{-\gamma}$（其中 $2 < \gamma \leq 3$）的随机图的性质。最后，会介绍概率生成函数，这是一种优雅而强大的数学方法，可用于以紧凑和直接的方式获得具有任意度分布 $p_k$ 的随机图的相关结果。

2. 万维网的基本介绍

万维网（WWW）已成为数十亿人日常生活中不可或缺的一部分，它是主要的信息来源之一，也是知识和观点传播与交流的平台，近年来更是成为了越来越多社交活动的场所。万维网的节点是网页（即使用 HTML 语言编写的文档，每个网页都与一个不同的统一资源定位符 URL 相关联，用于识别和检索网页），有向链接表示从一个文档指向另一个文档的超链接。每个网页都托管在