23、广义随机图与增长图模型：从网络结构到动态演化

广义随机图与增长图模型：从网络结构到动态演化

1. 广义随机图：网络结构的深入剖析

在对网络的研究中，广义随机图是一个重要的概念。以万维网的网络样本为例，研究发现其度分布具有无标度特性，即网络节点具有度 $k$ 的概率 $p_k$ 是一个幂律分布 $p_k \sim k^{-\gamma}$，其中 $\gamma$ 的值通常在区间 $(2, 3]$ 内。这种幂律度分布与随机图的泊松度分布有很大不同，它表明大多数顶点连接稀疏，而少数顶点拥有极大量的链接，这些顶点对万维网的功能起着至关重要的作用。

从数学角度来看，在一个无限系统中，当 $p_k \sim k^{-\gamma}$ 且 $\gamma \in (2, 3]$ 时，平均度 $\langle k \rangle$ 是有限的，但二阶矩 $\langle k^2 \rangle$ 是发散的。这意味着在像万维网这样的有限网络中，节点度存在较大的波动，而系统的结构以这种特殊的方式组织起来，令人称奇。更令人惊讶的是，无标度网络不仅存在于万维网中，在其他人造系统、社会系统和自然界中也普遍存在。

为了更好地模拟现实世界的系统，对 Erdős–Rényi 模型进行了推广，以生成具有任意度分布 $p_k$ 的随机图。其中，配置模型是一种重要的方法，在该模型中，每个节点的度被分配一个精确的值，但除了这个约束外，链接是随机分布的。研究主要关注具有幂律度分布的图，利用 Molloy–Reed 准则预测当 $\gamma$ 小于临界值 $\gamma_c \approx 3.47$ 时存在巨型组件，并得到了特征路径长度和聚类系数的表达式。

值得注意的是，现实世界的网络总是有限的，因此其最大节点度存在一个截止值，即所谓的自然截止值