微积分公式 | 极限 / 导数 / 积分 / 微分方程

注：本文为 “微积分公式 ” 相关合辑。
略作重排，未全校。
如有内容异常，请看原文。

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微分和积分数学公式大全

一、极限公式

1. 有理函数极限：
   $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_0}{b_0}& n=m\\ 0& n<m\\ \infty & n>m\end{array}$$
   （其中系数 $a_0,b_0\ne 0$）

二、重要极限公式

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
2. ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$
3. ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a}=1$（$a>0$）
4. ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}=1$
5. ${\lim }_{x\to +\infty }\arctan x=\frac{\pi }{2}$
6. ${\lim }_{x\to -\infty }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$
7. ${\lim }_{x\to +\infty }\text{arccot}x=0$
8. ${\lim }_{x\to -\infty }\text{arccot}x=\pi$
9. ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$
10. ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^x=\infty$
11. ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x=1$

三、等价无穷小（$x\to 0$ 时）

（一）一阶等价无穷小（与 $x$ 等价）

1. 三角函数及反三角函数

• $\sin x\sim x$
• $\tan x\sim x$
• $\arcsin x\sim x$
• $\arctan x\sim x$

2. 对数与指数函数

• $\ln (1+x)\sim x$
• $e^x-1\sim x$
• $\ln (1-x)\sim -x$
• $e^{-x}-1\sim -x$

3. 其他函数

• $\sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$
• $\sinh x\sim x$
• $\tanh x\sim x$
• $\text{arcsinh}x\sim x$

（二）二阶等价无穷小（与 $\frac{1}{2}{x}^2$ 等价）

1. 三角函数相关

• $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

（三）含参数的等价无穷小

1. 指数函数一般形式

• $a^x-1\sim x\ln a$（其中 $a>0$ 且 $a\ne 1$）

2. 幂函数近似形式

• $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$（其中 $\alpha$ 为常数）

说明

• 一阶等价无穷小：在 $x\to 0$ 时，这些函数与 $x$ 的比值趋于 1。
• 二阶等价无穷小：函数与 $\frac{1}{2}{x}^2$ 的比值趋于 1。
• 含参数的等价无穷小：函数的等价无穷小关系依赖于参数的值。

四、导数的四则运算法则

1. $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$
2. $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
3. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$（$v\ne 0$）

五、基本导数公式

函数类型	函数表达式	导数公式	备注
常数函数	$c$	$(c{)}^{\prime }=0$	$c$ 为常数
幂函数	$x^{\mu }$	$(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}$	$\mu$ 为常数
三角函数	$\sin x$	$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	-
	$\cos x$	$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	-
	$\tan x$	$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$	-
	$\cot x$	$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$	-
	$\sec x$	$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\cdot \tan x$	-
	$\csc x$	$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cdot \cot x$	-
指数函数	$e^x$	$(e^x{)}^{\prime }=e^x$	-
	$a^x$	$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$	$a>0$ 且 $a\ne 1$
对数函数	$\ln x$	$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$	-
	${\log }_{a}x$	$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$	$a>0$ 且 $a\ne 1$
反三角函数	$\arcsin x$	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$|x|<1$
	$\arccos x$	$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$|x|<1$
	$\arctan x$	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$	-
	$\text{arccot}x$	$(\text{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$	-
其他函数	$x$	$(x{)}^{\prime }=1$	-
	$\sqrt{x}$	$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$x>0$

六、高阶导数的运算法则

1. $[u(x)\pm v(x){]}^{(n)}=u^{(n)}(x)\pm v^{(n)}(x)$
2. $[cu(x){]}^{(n)}=c{u}^{(n)}(x)$（$c$ 为常数）
3. $[u(ax+b){]}^{(n)}=a^n{u}^{(n)}(ax+b)$（$a\ne 0$）
4. 莱布尼茨公式：
   $$[u(x)\cdot v(x){]}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{\mathrm{C}}_n^k{u}^{(n-k)}(x)v^{(k)}(x)$$
   （其中 ${\mathrm{C}}_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 为组合数）

七、基本初等函数的 $n$ 阶导数公式

1. $(x^n{)}^{(n)}=n!$；$(x^n{)}^{(k)}=0$（$k>n$）
2. $(e^{ax+b}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax+b}$（$a\ne 0$）
3. $(a^x{)}^{(n)}=a^x(\ln a{)}^n$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）
4. $[\sin (ax+b){]}^{(n)}=a^n\sin \left(ax+b+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$（$a\ne 0$）
5. $[\cos (ax+b){]}^{(n)}=a^n\cos \left(ax+b+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$（$a\ne 0$）
6. ${\left(\frac{1}{ax+b}\right)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{a^n\cdot n!}{(ax+b{)}^{n+1}}$（$a\ne 0$，$ax+b\ne 0$）
7. $[\ln (ax+b){]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{a^n\cdot (n-1)!}{(ax+b{)}^n}$（$a\ne 0$，$ax+b>0$）

八、微分公式与运算法则

（一）基本微分公式

函数类型	函数表达式	微分公式	备注
常数函数	$c$	$d(c)=0$	$c$ 为常数
幂函数	$x^{\mu }$	$d(x^{\mu })=\mu x^{\mu -1}dx$	$\mu$ 为常数
三角函数	$\sin x$	$d(\sin x)=\cos xdx$	-
	$\cos x$	$d(\cos x)=-\sin xdx$	-
	$\tan x$	$d(\tan x)={\sec }^{2}xdx$	-
	$\cot x$	$d(\cot x)=-{\csc }^{2}xdx$	-
	$\sec x$	$d(\sec x)=\sec x\cdot \tan xdx$	-
	$\csc x$	$d(\csc x)=-\csc x\cdot \cot xdx$	-
指数函数	$e^x$	$d(e^x)=e^{x}dx$	-
	$a^x$	$d(a^x)=a^x\ln adx$	$a>0$ 且 $a\ne 1$
对数函数	$\ln x$	$d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$	$x>0$
	${\log }_{a}x$	$d({\log }_{a}x)=\frac{1}{x\ln a}dx$	$a>0$ 且 $a\ne 1$，$x>0$
反三角函数	$\arcsin x$	$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$	$|x|<1$
	$\arccos x$	$d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$	$|x|<1$
	$\arctan x$	$d(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}dx$	-
	$\text{arccot}x$	$d(\text{arccot}x)=-\frac{1}{1+x^2}dx$	-

（二）微分运算法则

1. $d(u\pm v)=du\pm dv$
2. $d(cu)=cdu$（$c$ 为常数）
3. $d(uv)=vdu+udv$
4. $d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}$（$v\ne 0$）

九、积分公式与方法

（一）基本积分公式

函数类型	公式	说明
幂函数与常数类	$\int kdx=kx+C$	$k$ 为常数
	$\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C$	$\mu \ne -1$
对数与指数类	$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$	$x\ne 0$
	$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$	$a>0$ 且 $a\ne 1$
	$\int e^{x}dx=e^x+C$
三角函数类	$\int \cos xdx=\sin x+C$
	$\int \sin xdx=-\cos x+C$
	$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$	即 $\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$
	$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$	即 $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$
反三角函数类	$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
	$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$	$|x|<1$

（二）常用凑微分公式

积分型	换元公式
$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$	$u=ax+b$（$a\ne 0$）
$\int f(x^{\mu })x^{\mu -1}dx=\frac{1}{\mu }\int f(x^{\mu })d(x^{\mu })$	$u=x^{\mu }$（$\mu \ne 0$）
$\int f(\ln x)\cdot \frac{1}{x}dx=\int f(\ln x)d(\ln x)$	$u=\ln x$
$\int f(e^x)\cdot e^{x}dx=\int f(e^x)d(e^x)$	$u=e^x$
$\int f(a^x)\cdot a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}\int f(a^x)d(a^x)$	$u=a^x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）
$\int f(\sin x)\cdot \cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$	$u=\sin x$
$\int f(\cos x)\cdot \sin xdx=-\int f(\cos x)d(\cos x)$	$u=\cos x$
$\int f(\tan x)\cdot {\sec }^{2}xdx=\int f(\tan x)d(\tan x)$	$u=\tan x$
$\int f(\cot x)\cdot {\csc }^{2}xdx=-\int f(\cot x)d(\cot x)$	$u=\cot x$
$\int f(\arctan x)\cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\int f(\arctan x)d(\arctan x)$	$u=\arctan x$
$\int f(\arcsin x)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int f(\arcsin x)d(\arcsin x)$	$u=\arcsin x$（$|x|<1$）

（三）补充积分公式

1. $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$
2. $\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$
3. $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$
4. $\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$
5. $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$（$a\ne 0$）
6. $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$（$a\ne 0$，$|x|\ne a$）
7. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$（$a>0$，$|x|<a$）
8. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$（$a>0$）

（四）分部积分法公式

1. 形如 $\int x^n{e}^{ax}dx$、$\int x^n\sin xdx$、$\int x^n\cos xdx$（$n$ 为非负整数，$a\ne 0$）：
   令 $u=x^n$，$dv=e^{ax}dx$（或 $\sin xdx$、$\cos xdx$）。
2. 形如 $\int x^n\arctan xdx$、$\int x^n\ln xdx$（$n\ne -1$）：
   令 $u=\arctan x$（或 $\ln x$），$dv=x^{n}dx$。
3. 形如 $\int e^{ax}\sin xdx$、$\int e^{ax}\cos xdx$（$a\ne 0$）：
   令 $u=e^{ax}$ 或 $u=\sin x$（$\cos x$）均可，需两次分部积分后解方程。

（五）第二换元积分法（三角换元）

1. 含 $\sqrt{a^2-x^2}$（$a>0$）：令 $x=a\sin t$（$|t|<\frac{\pi }{2}$）
2. 含 $\sqrt{a^2+x^2}$（$a>0$）：令 $x=a\tan t$（$|t|<\frac{\pi }{2}$）
3. 含 $\sqrt{x^2-a^2}$（$a>0$）：令 $x=a\sec t$（$t\in (0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi )$）

十、三角函数相关

（一）特殊角的三角函数值

角度	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$
$0$	$0$	$1$	$0$	不存在
$\frac{\pi }{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\pi }{2}$	$1$	$0$	不存在	$0$
$\pi$	$0$	$-1$	$0$	不存在

（二）三角函数公式

1. 两角和差公式：
   $$\begin{array}{rl}\sin (A+B)& =\sin A\cos B+\cos A\sin B\\ \sin (A-B)& =\sin A\cos B-\cos A\sin B\\ \cos (A+B)& =\cos A\cos B-\sin A\sin B\\ \cos (A-B)& =\cos A\cos B+\sin A\sin B\\ \tan (A+B)& =\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\\ \tan (A-B)& =\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\\ \cot (A+B)& =\frac{\cot A\cot B-1}{\cot B+\cot A}\\ \cot (A-B)& =\frac{\cot A\cot B+1}{\cot B-\cot A}\end{array}$$

2. 二倍角公式：
   $$\begin{array}{rl}\sin 2A& =2\sin A\cos A\\ \cos 2A& ={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A=1-2{\sin }^{2}A=2{\cos }^{2}A-1\\ \tan 2A& =\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}\end{array}$$

3. 半角公式（根号前符号由角所在象限决定）：
   $$\begin{array}{rl}\sin \frac{A}{2}& =\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}\\ \cos \frac{A}{2}& =\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}\\ \tan \frac{A}{2}& =\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}=\frac{\sin A}{1+\cos A}\\ \cot \frac{A}{2}& =\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}=\frac{\sin A}{1-\cos A}\end{array}$$

4. 和差化积公式：
   $$\begin{array}{rl}\sin a+\sin b& =2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b& =2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \cos a+\cos b& =2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b& =-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \tan a+\tan b& =\frac{\sin (a+b)}{\cos a\cos b}\end{array}$$

5. 积化和差公式：
   $$\begin{array}{rl}\sin a\sin b& =-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)]\\ \cos a\cos b& =\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]\\ \sin a\cos b& =\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\\ \cos a\sin b& =\frac{1}{2}[\sin (a+b)-\sin (a-b)]\end{array}$$

6. 万能公式（令 $t=\tan \frac{a}{2}$）：
   $$\begin{array}{rl}\sin a& =\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos a& =\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \tan a& =\frac{2t}{1-t^2}\end{array}$$

7. 平方关系：
   $$\begin{array}{r}{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\\ {\sec }^{2}x-{\tan }^{2}x=1\\ {\csc }^{2}x-{\cot }^{2}x=1\end{array}$$

8. 倒数关系：
   $$\begin{array}{r}\tan x\cdot \cot x=1\\ \sec x\cdot \cos x=1\\ \csc x\cdot \sin x=1\end{array}$$

9. 商数关系：
   $$\begin{array}{r}\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\end{array}$$

十一、常见微分方程

1. 可分离变量的微分方程：
   形式：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ 或 $f_1(x)g_1(y)dx+f_2(x)g_2(y)dy=0$
   解法：分离变量后积分。

2. 齐次微分方程：
   形式：$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$
   解法：令 $u=\frac{y}{x}$（即 $y=ux$），转化为可分离变量方程。

3. 一阶线性非齐次微分方程：
   形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$
   通解公式：
   $$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right]$$

十二、向量代数与空间解析几何

（一）向量的运算

1. 向量的加减法：设向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$，$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$。
2. 向量的数乘：设$\lambda$为常数，则$\lambda \vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。
3. 向量的点积（数量积）：$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$（$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角）。
4. 向量的叉积（向量积）：$\vec{a}\times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$，其模$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$。

（二）空间平面与直线方程

1. 平面方程

• 点法式：过点$(x_0,y_0,z_0)$，法向量为$\vec{n}=(A,B,C)$的平面方程为$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$。
• 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$（$A,B,C$不全为0）。

2. 直线方程

• 参数式：过点$(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为$\vec{s}=(m,n,p)$的直线方程为$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}$（$t$为参数）。
• 对称式：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$。

十三、多元函数微分学

（一）偏导数

1. 定义：设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若极限 $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$ 存在，则称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记为 $f_x(x_0,y_0)$ 或 $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$。同理可定义对 $y$ 的偏导数 $f_y(x_0,y_0)$。
2. 高阶偏导数：二阶偏导数有 $f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}$，$f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$，$f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$，$f_{yy}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}$。当 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 都连续时，$f_{xy}=f_{yx}$。

（二）全微分

1. 定义：若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 可表示为 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$（其中 $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，$A,B$ 不依赖于 $\Delta x,\Delta y$），则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，$A\Delta x+B\Delta y$ 称为全微分，记为 $dz=A\Delta x+B\Delta y$。
2. 计算公式：若 $z=f(x,y)$ 可微，则 $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$。

十四、重积分

（一）二重积分

1. 定义：设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\cdots ,\Delta {\sigma }_n$，在每个 $\Delta {\sigma }_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，作和 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，若当各小闭区域的直径中的最大值 $\lambda$ 趋于 0 时，这和的极限存在，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记为 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$。

2. 计算方法

• 直角坐标下：${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$ 或 ${\int }_c^{d}dy{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$。
• 极坐标下：${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$（适用于积分区域为圆或圆的一部分等情况）。

（二）三重积分

1. 定义：类似二重积分，是三元函数在空间有界闭区域上的积分，记为 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV$。
2. 计算方法：可采用直角坐标、柱面坐标、球面坐标进行计算，根据积分区域的形状选择合适的坐标系统。

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via:

• 微分和积分数学公式大全 - 微笑的’'80 - 博客园
  https://www.cnblogs.com/dyg540/articles/9736633.html
  • 微分和积分数学公式大全-优快云博客
    https://blog.youkuaiyun.com/nantongcjq/article/details/78987467
  • 微积分公式大全.pdf_百度网盘
    https://pan.baidu.com/s/1i5kl3CD