微积分 · 不定积分 | 概念 / 基本性质 / 常用公式

原创于 2025-09-07 12:14:42 发布 · 1.7k 阅读

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微积分 · 不定积分

一、概念

1.1 原函数

设函数 $F (x)$ 与 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若对任意 $\in I$ ，均满足 $F^{'} (x) = f (x)$ 或 $d F (x) = f (x) d x$ ，则称 $F (x)$ 为 $f (x)$ （或 $f (x) d x$ ）在区间 $I$ 内的一个原函数。

1.2 原函数存在定理

若函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上连续，则在区间 $I$ 上必存在可导函数 $F (x)$ ，使得对任意 $\in I$ ，均有 $F^{'} (x) = f (x)$ 。简言之：连续函数必有原函数。

1.3 不定积分

在区间 $I$ 上，函数 $f (x)$ 的全体原函数称为 $f (x)$ （或 $f (x) d x$ ）在区间 $I$ 上的不定积分，记作 $\int f(x)dx$ 。

其中， $\int$ 称为积分号， $f (x)$ 称为被积函数， $f (x) d x$ 称为被积表达式， $x$ 称为积分变量， $C$ 称为积分常数。

如果 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的一个原函数，那么 $\int f(x)dx = F(x) + C$ 。

二、不定积分的基本性质

设函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的原函数均存在， $k$ 为非零常数，则有：

线性性质（加减性）：

$\int \left[ f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

即“和（差）的积分等于积分的和（差）”。

线性性质（常数因子可提性）：

$\int k f(x)dx = k \int f(x)dx$

即“非零常数与函数乘积的积分，等于常数乘以该函数的积分”。

三、常用不定积分基本公式

3.1 常数与幂函数类

$\int k dx = kx + C$ （ $k$ 为常数）
$\int x^\mu dx = \frac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C$ （ $\mu \neq -1$ ）

常用变形： $\int a x^\mu dx = \frac{a}{\mu + 1}x^{\mu + 1} + C$ （ $\mu \neq -1$ ， $a$ 为常数）

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C$

3.2 指数函数类

$\int e^x dx = e^x + C$

常用变形： $\int a e^{nx} dx = \frac{a}{n}e^{nx} + C$ （ $a, n$ 为常数， $\neq 0$ ）

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （ $a > 0$ ， $\neq 1$ ）

3.3 三角函数类

$\int \sin x dx = -\cos x + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$
$\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$
$\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C = -\ln|\csc x| + C$
$\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C = \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right| + C$
$\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C = \ln\left|\tan\frac{x}{2}\right| + C$
$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
$\int \sec x \cdot \tan x dx = \sec x + C$
$\int \csc x \cdot \cot x dx = -\csc x + C$

3.4 反三角函数与分式类（含常数 $a > 0$ ）

$\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C = -\text{arccot } x + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C = -\arccos x + C$
$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C$
$\int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a}\ln\left| \frac{a + x}{a - x} \right| + C$
$\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a}\ln\left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln\left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln\left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C$

四、不定积分求解方法

4.1 第一类换元积分法（凑微分法）

设 $f (u)$ 具有原函数， $\varphi(x)$ 可导，则换元公式为：

$\int f\left[ \varphi(x) \right] \varphi'(x) dx = \int f\left[ \varphi(x) \right] d\varphi(x) = \left. \int f(u) du \right|_{u = \varphi(x)}$

思路：将被积表达式凑成 $f (u) d u$ 的形式，其中 $u$ 是 $x$ 的函数。

4.2 第二类换元积分法

设 $\psi(t)$ 单调、可导且 $\psi'(t) \neq 0$ ，若 $f\left[ \psi(t) \right] \psi'(t)$ 有原函数，则换元公式为：

$\int f(x) dx = \left. \int f\left[ \psi(t) \right] \psi'(t) dt \right|_{t = \psi^{-1}(x)}$

（ $\psi^{-1}(x)$ 为 $\psi(t)$ 的反函数）

思路：通过引入新的变量 $t$ 将原积分转化为更简单的形式，然后积分，最后将 $t$ 替换回 $x$ 。

常用换元类型：

含 $\sqrt{a^2 - x^2}$ ：令 $a\sin t$ 或 $a\cos t$ （需限定 $t$ 的范围使 $\psi(t)$ 单调可逆，如 $\in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ ）
含 $\sqrt{a^2 + x^2}$ ：令 $a\tan t$ 或 $a\cot t$ （如 $\in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ ）
含 $\sqrt{x^2 - a^2}$ ：令 $a\sec t$ 或 $a\csc t$ （如 $\in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ ）
含指数函数 $e^x$ 或 $a^x$ ：令 $u = e^x$ 或 $u = a^x$
含对数函数 $\ln x$ ：令 $\ln x$

4.3 分部积分法

设 $u = u (x)$ 、 $v = v (x)$ 有连续导数，由 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ 得分部积分公式：

$\int uv' dx = uv - \int u'v dx \quad (\text{或 } \int u dv = uv - \int v du)$

思路：将难以直接积分的函数分解为两个部分 $u$ 和 $d v$ ，通过交换积分顺序来简化问题。

选择 $u$ 和 $d v$ 的原则是使 $\int v \, du$ 比原积分 $\int u \, dv$ 更容易计算。

示例

示例 1：求 $\int \arcsin x \, dx$

被积函数可看作“ $\arcsin x \times 1$ ”，按优先级设 $\arcsin x$ （反三角函数，优先级高）， $d v = d x$ （ $1$ 与 $d x$ 结合）；
计算 $d u$ 和 $v$ ： $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ ， $v = x$ ；
代入分部积分公式：

$\int \arcsin x \, dx = x\arcsin x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$

处理剩余积分 $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ ：用第一类换元法，令 $t = 1 - x^2$ ，则 $d t = - 2 x d x$ ，即 $-\frac{1}{2}dt$ ，代入得：

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}} dt = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C$

合并结果：

$\int \arcsin x \, dx = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$

4.4 有理函数的积分

定义：形如 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的函数（ $P (x)$ 、 $Q (x)$ 为多项式）。

真分式： $\deg P(x) < \deg Q(x)$
假分式： $\deg P(x) \geq \deg Q(x)$

积分步骤：

假分式：先通过多项式除法将其化为“多项式 + 真分式”的形式
真分式：对分母 $Q (x)$ 进行因式分解，然后根据分解结果将真分式拆分为简单分式之和。
例如： $\frac{x + 1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}$ ，求出常数 $A, B$ 后再分项积分
简单分式类型包括： $\frac{A}{(x-a)^k}$ 和 $\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}$ （其中 $x^2+px+q$ 没有实根）
最后对分解后的多项式和简单分式进行积分

五、典型例题

1. 幂函数积分

例题：计算 $\int 2(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x^3} - 1)dx$

解：

原式 $\int 2(x^{1/2} + 1)(x^{3/2} - 1)dx$

$\int 2(x^2 - x^{1/2} + x^{3/2} - 1)dx$

$\int (x^2 + x^{3/2} - x^{1/2} - 1)dx$

$\left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^{5/2}}{5/2} - \frac{x^{3/2}}{3/2} - x \right) + C$

$\frac{2}{3}x^3 + \frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x + C$

2. 指数函数积分

例题：计算 $\int 3^x \cdot e^x dx$

解：
原式 $\int (3e)^x dx$

$\frac{(3e)^x}{\ln(3e)} + C$

$\frac{3^x e^x}{\ln 3 + \ln e} + C$

$\frac{3^x e^x}{\ln 3 + 1} + C$

3. 反三角函数积分

例题：计算 $\int \frac{x^2}{x^2 + 1} dx$

解：
原式 $\int \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} dx$

$\int \left( 1 - \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx$

$\int 1 dx - \int \frac{1}{x^2 + 1} dx$

$\arctan x + C$

4. 三角函数积分 1

例题：计算 $\int \frac{dx}{1 + \cos 2x}$

解：
利用二倍角公式 $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$

原式 $\int \frac{dx}{2\cos^2 x}$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

$\frac{1}{2} \int \sec^2 x dx$

$\frac{1}{2}\tan x + C$

5. 三角函数积分 2

例题：计算 $\int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx$

解：
利用二倍角公式 $cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

原式 $\int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx$

$\int \left( \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \right) dx$

$\int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx$

$\int (\csc^2 x - \sec^2 x) dx$

$-\cot x - \tan x + C$

6. 三角函数积分 3

例题：计算 $\int \cot^2 x dx$

解：
利用三角恒等式 $cot^2 x = \csc^2 x - 1$

原式 $\int (\csc^2 x - 1) dx$

$\int \csc^2 x dx - \int 1 dx$

$-\cot x - x + C$

7. 有理函数积分

例题：计算 $\int \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6} dx$

解：
首先分解分母： $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

将被积函数拆分为简单分式：

$\frac{x + 1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}$

通分得 $x + 1 = A (x - 3) + B (x - 2)$

令 $x = 2$ ，得 $\Rightarrow 3 = -A \Rightarrow A = -3$

令 $x = 3$ ，得 $\Rightarrow 4 = B \Rightarrow B = 4$

所以原积分 $\int \left( \frac{-3}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} \right) dx$

$\ln|x - 2| + 4 \ln|x - 3| + C$

六、常见积分方法

6.1 换元积分法

6.1.1 第一类换元法（凑微分法）

适用于被积函数为复合函数的情况，核心是“凑出内函数的微分”，通过变量代换简化积分。

步骤与公式

令 $\varphi(x)$ （内函数）；
计算微分 $\varphi'(x) dx$ ，将原积分替换为关于 $u$ 的积分：
$\int f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) dx = \int f(u) du$
利用基本积分表求解 $\int f(u) du = F(u) + C$ ；
代回 $\varphi(x)$ ，得到结果： $F(\varphi(x)) + C$ 。

示例：求 $\int e^{x^2} \cdot 2x dx$

令 $u = x^2$ ，则 $d u = 2 x d x$ ，原积分转化为 $\int e^u du = e^u + C$ ；
代回 $u = x^2$ ，最终结果为 $e^{x^2} + C$ 。

6.1.2 第二类换元法（变量代换法）

适用于被积函数含难以凑微分的根号（如 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 、 $\sqrt{x^2 + a^2}$ ），核心是“用新变量的表达式替换原变量”，通过三角代换、双曲代换等消除根号。

步骤与公式

令 $\psi(t)$ （原变量用新变量 $t$ 表示，需满足 $\psi(t)$ 单调、可导且 $\psi'(t) \neq 0$ ，保证反函数存在）；
计算微分 $\psi'(t) dt$ ，将原积分替换为关于 $t$ 的积分：
$\int f(x) dx = \int f(\psi(t)) \cdot \psi'(t) dt$
利用基本积分表求解 $\int f(\psi(t)) \cdot \psi'(t) dt = G(t) + C$ ；
通过反函数 $\psi^{-1}(x)$ 代回原变量，得到结果： $G(\psi^{-1}(x)) + C$ 。

示例：求 $\int \sqrt{1 - x^2} dx$

令 $\sin t$ （利用 $sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 消除根号），则 $\cos t dt$ ，且 $\sqrt{1 - x^2} = \cos t$ （限定 $\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ，保证 $\cos t \geq 0$ ）；
原积分转化为： $\int \cos t \cdot \cos t dt = \int \cos^2 t dt$ ，利用三角恒等式 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ ，进一步计算：
$\int \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t + C = \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\sin t \cos t + C$
代回原变量：由 $\sin t$ ，得 $\arcsin x$ ， $\cos t = \sqrt{1 - x^2}$ ，最终结果为：
$\frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1 - x^2} + C$

6.2 分部积分法：处理“函数乘积型”积分

当被积函数为“不同类型函数的乘积”（如幂函数×反三角函数、指数函数×三角函数）时，换元法难以适用，需通过分部积分法求解。该方法基于“两个函数乘积的导数公式”推导，核心是“拆分积分、降低难度”。

6.2.1 公式推导

由乘积导数公式： $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ，移项得： $u v^{'} = (uv)^{'} - u^{'} v$ ；
对等式两端同时取不定积分（利用 $\int (uv)' dx = uv + C$ ，常数可合并）：
$\int uv' dx = uv - \int u'v dx$
令 $d u = u^{'} d x$ 、 $d v = v^{'} d x$ ，则分部积分的核心公式为：
$\int u dv = uv - \int v du$

6.2.2 关键原则： $u$ 和 $d v$ 的选择

选择 $u$ 和 $d v$ 需遵循“反三角函数＞对数函数＞幂函数＞三角函数＞指数函数”的优先级（优先级高的设为 $u$ ，优先级低的与 $d x$ 结合设为 $d v$ ），目的是使 $\int v du$ 比原积分 $\int u dv$ 更简单。

6.2.3 示例 1：求 $\int \arcsin x dx$

被积函数可看作“ $\arcsin x \times 1$ ”，按优先级设 $\arcsin x$ （反三角函数，优先级高）， $d v = d x$ （ $1$ 与 $d x$ 结合）；
计算 $d u$ 和 $v$ ： $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ ， $v = x$ ；
代入分部积分公式：
$\int \arcsin x dx = x\arcsin x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$
处理剩余积分 $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ ：用第一类换元法，令 $t = 1 - x^2$ ，则 $d t = - 2 x d x$ ，即 $-\frac{1}{2}dt$ ，代入得：
$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}} dt = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C$
合并结果：
$\int \arcsin x dx = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$

6.2.4 示例 2：综合应用（分部积分+换元）：求 $\int \frac{\arctan x}{x^2} dx$

设 $\arctan x$ （反三角函数，优先级高）， $\frac{1}{x^2} dx$ （幂函数与 $d x$ 结合）；
计算 $d u$ 和 $v$ ： $\frac{1}{1 + x^2} dx$ ， $-\frac{1}{x}$ ；
代入分部积分公式：
$\int \frac{\arctan x}{x^2} dx = -\frac{\arctan x}{x} + \int \frac{1}{x(1 + x^2)} dx$
处理 $\int \frac{1}{x(1 + x^2)} dx$ ：将分式分解为 $\frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^2}$ ，分别积分：
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_1$ ；
- $\int \frac{x}{1 + x^2} dx$ （换元法，令 $s = 1 + x^2$ ）： $\frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C_2$ ；
合并结果（ $C = C_1 - C_2$ ）：
$\int \frac{\arctan x}{x^2} dx = -\frac{\arctan x}{x} + \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$

七、方法选择优先级与常见易错点

7.1 方法选择优先级

为提高解题效率，建议按以下顺序尝试方法：

优先用直接积分法：先观察被积函数是否能直接匹配基本积分表，避免“小题大做”；
再试换元积分法：若含复合结构，先试第一类换元法（凑微分）；若含根号，再试第二类换元法；
最后用分部积分法：仅当被积函数为“不同类型函数乘积”且前两种方法无效时使用，注意 $u$ 和 $d v$ 的优先级。

7.2 常见易错点提醒

遗漏积分常数 $C$ ：不定积分是“所有原函数的集合”， $C$ 是核心组成部分，即使后续计算中常数项合并，初始步骤也需写出；
换元后未回代变量：第二类换元法中，若引入新变量 $t$ ，最终必须通过反函数代回原变量 $x$ ，否则结果与原积分变量无关；
$u$ 和 $d v$ 选择错误：如求解 $\int x e^x dx$ 时，若误设 $u = e^x$ 、 $d v = x d x$ ，会导致积分复杂度升高（幂函数次数增加），正确选择应为 $u = x$ 、 $dv = e^x dx$ ；
忽视积分区间有效性：部分公式有区间限制（如 $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ 要求 $\neq 0$ ），需确保被积函数在积分区间内有定义。

八、总结

理解公式推导：记忆基本积分公式时，结合导数逆运算推导（如由 $tan x)' = \sec^2 x$ 推导 $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ ），避免死记硬背；
多练综合题型：重点练习“换元法+分部积分法”结合的题目，提升解题灵活性；
参考教材：若对方法原理有疑问，可查阅高等数学等教材。

分部积分法核心原则与应用

分部积分法是解决“函数乘积型不定积分”（如 $\int x\ln x dx$ 、 $\int e^x\sin x dx$ ）的核心工具，其核心是通过合理拆分被积函数为 $u$ 和 $d v$ ，将复杂积分转化为更易计算的形式。

一、分部积分法核心公式（推导与形式）

1.1 公式推导

基于“两个函数乘积的导数法则”推导：
对可导函数 $u = u (x)$ 和 $v = v (x)$ ，由导数公式 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ，移项得：
$u v^{'} = (uv)^{'} - u^{'} v$
对等式两端同时取不定积分（利用 $\int (uv)'dx = uv + C$ ，常数可合并），最终得到分部积分法的核心公式：
$\int uv' dx = uv - \int u'v dx$

1.2 简化形式（常用）

令 $d u = u^{'} (x) d x$ 、 $d v = v^{'} (x) d x$ （即 $u$ 的微分是 $d u$ ， $d v$ 的原函数是 $v$ ），公式可简写为：
$\boxed{\int u \cdot dv = uv - \int v \cdot du}$

关键逻辑：将原积分 $\int u \cdot dv$ 拆分为“已求部分 $uv$ ”和“简化后的积分 $\int v \cdot du$ ”，核心是让 $\int v \cdot du$ 比原积分更易计算。

二、 $u$ 与 $d v$ 的核心选择原则（优先级+逻辑）

选择 $u$ 和 $d v$ 是分部积分法的关键，需同时满足“ $u$ 求导简化”“ $d v$ 可直接积分”“剩余积分易算”三个要求，具体原则如下：

2.1 优先级原则

优先级从高到低依次为：

排序	英文缩写（LIATE 原则）	中文简称（对反幂三指原则）	包含函数示例	核心特点（求导后）
1（最高）	L - 对数函数（Logarithmic）	对 - 对数函数	$ln x, \log_a x$	转化为代数分式（如 $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ ）
2	I - 反三角函数（Inverse trigonometric）	反 - 反三角函数	$\arcsin x, \arctan x$	转化为有理函数（如 $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$ ）
3	A - 代数函数（Algebraic）	幂 - 幂函数（代数特例）	$x^n, ax+b$ （ $n$ 为常数）	次数降低（如 $x^3)'=3x^2$ ）
4	T - 三角函数（Trigonometric）	三 - 三角函数	$\sin x, \cos x, \tan x$	形式不变（如 $(\sin x)'=\cos x$ ）
5（最低）	E - 指数函数（Exponential）	指 - 指数函数	$e^x, a^x$	形式不变（如 $e^x)'=e^x$ ）

遵循“对数＞反三角＞代数（幂）＞三角＞指数”。

2.2 排序逻辑

排序本质是平衡“ $u$ 的导数简化性”和“ $d v$ 的积分易算性”：

选 $u$ 的逻辑：优先级高的函数，导数后会“降低复杂度”——对数/反三角求导后消除“超越性”（转化为代数函数），代数函数求导后“降次”，避免积分难度升高；
选 $d v$ 的逻辑：优先级低的函数，积分后“不增加复杂度”——指数/三角函数积分后形式不变（如 $e^x$ 积分仍为 $e^x$ ， $\sin x$ 积分仅变号为 $-\cos x$ ），确保 $\int v \cdot du$ 易计算。

2.3 避免无效拆分

除优先级外，需满足两个硬性要求：

$d v$ 必能直接积分： $d v$ 需是“可通过基本积分表求出原函数 $v$ ”的形式，例如：

有效 $d v$ ： $dv = x^n dx$ （ $v=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ）、 $dv = e^x dx$ （ $v=e^x$ ）、 $\sin x dx$ （ $v=-\cos x$ ）；
无效 $d v$ ：若积分 $\int \ln x dx$ ，若误选 $\ln x dx$ ，则 $v$ 无法用基本公式直接求出，导致拆分失败（正确应为 $d v = d x$ ， $v = x$ ）。

剩余积分更简单：最终需让 $\int v \cdot du$ 比原积分简化，例如“降次”（ $\int x^2 e^x dx$ 选 $u=x^2$ ，求导后为 $2 x$ ，积分降次为 $\int x e^x dx$ ）、“去超越性”（ $\int \arctan x dx$ 选 $u=\arctan x$ ，求导后为 $\frac{1}{1+x^2}$ ，积分转化为 $\int \frac{x}{1+x^2}dx$ ，仅含有理函数）。

三、典型应用案例

通过案例验证原则的有效性，展示拆分逻辑与计算步骤：

案例 1：对数×代数函数—— $\int x \ln x dx$

拆分依据：按 LIATE 原则， $\ln x$ （L）优先级高于 $x$ （A），故：

$\ln x$ （求导： $\frac{1}{x}dx$ ）；
$d v = x d x$ （积分： $\frac{1}{2}x^2$ ）。

代入公式：
$\int x \ln x dx = uv - \int v du = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x}dx$
简化计算：剩余积分 $\int \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{4}x^2 + C$ ，最终结果：
$\frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 + C$

案例 2：反三角×常数（代数特例）—— $\int \arcsin x dx$

拆分依据：被积函数可看作 $\arcsin x \times 1$ （ $1=x^0$ ，属于 A 类）， $\arcsin x$ （I）优先级高于 $1$ （A），故：

$\arcsin x$ （求导： $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ ）；
$d v = d x$ （积分： $v = x$ ）。

代入公式：
$\int \arcsin x dx = x \arcsin x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
简化计算：剩余积分用换元法（令 $t=1-x^2$ ， $d t = - 2 x d x$ ），得 $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\sqrt{1-x^2} + C$ ，最终结果：
$\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

案例 3：代数×指数函数（多次分部）—— $\int x^2 e^x dx$

第一次拆分： $x^2$ （A）优先级高于 $e^x$ （E），故 $u=x^2$ ， $dv=e^x dx$ （ $v=e^x$ ）：
$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx$
第二次拆分：对 $\int x e^x dx$ ，仍选 $u = x$ （A）， $dv=e^x dx$ ：
$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$
合并结果：
$x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

案例 4：三角×指数函数（循环分部）—— $\int e^x \sin x dx$

第一次拆分： $\sin x$ （T）与 $e^x$ （E）优先级接近，选 $u=\sin x$ ， $dv=e^x dx$ （ $v=e^x$ ）：
$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$
第二次拆分：对 $\int e^x \cos x dx$ ，选 $u=\cos x$ ， $dv=e^x dx$ （ $v=e^x$ ）：
$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$
解方程（处理循环）：将第二次结果代入第一次，设原积分为 $I$ ：
$I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)$
移项得 $2I = e^x (\sin x - \cos x) + C$ ，最终结果：
$\frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x) + C$

四、常见误区与避坑指南

颠倒 $u$ 与 $d v$ ：如 $\int x \ln x dx$ 若误选 $u = x$ 、 $dv=\ln x dx$ ，则 $v$ 无法直接积分，导致失败；
遗漏多次分部：如 $\int x^3 \cos x dx$ 需 3 次分部（每次选 $u=x^n$ ，降次至常数），中途停止会导致积分未完成；
循环积分处理不当：“三角×指数”型积分出现循环时，需将原积分视为“未知数”解方程，而非重复计算；
忽略积分常数 $C$ ：不定积分是“全体原函数的集合”，即使中间步骤省略常数，最终结果必须加 $C$ ；
$d v$ 选择不可积形式：如 $\int \log_2 x dx$ ，需选 $d v = d x$ （ $v = x$ ），而非 $dv=\log_2 x dx$ （ $v$ 无法用基本公式求出）。

五、方法选择优先级

在完整的不定积分求解中，分部积分法并非首选，建议按以下顺序尝试：

直接积分法：先观察被积函数是否匹配基本积分表（如 $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ ）；
换元积分法：含复合结构用“第一类换元法（凑微分）”，含根号用“第二类换元法（三角代换等）”；
分部积分法：仅当被积函数为“不同类型函数乘积”且前两种方法无效时使用，严格遵循 $u$ 与 $d v$ 选择原则。

ILATE Rule

ILATE 法则

ILATE rule is the most helpful rule used in integration by parts. This rule is used to decide which function is to be chosen as the first function when the integration is done by parts. Instead of this rule, LIATE rule can also be applied.
ILATE 法则是分部积分法中最实用的法则。该法则用于在进行分部积分运算时，确定应选择哪个函数作为第一个函数。除此法则外，LIATE 法则也可适用。

Let us learn more about ILATE rule and its applications in detail along with more solved examples.
下面我们结合更多求解示例，详细了解 ILATE 法则及其应用。

What is ILATE (LIATE) Rule?

什么是 ILATE（LIATE）法则？

ILATE rule is a rule that is most commonly used in the process of integration by parts and it makes the process of selecting the first function and the second function very easy. The integration by parts formula can be written in two ways:
ILATE 法则是分部积分过程中最常用的法则，它能大幅简化第一个函数与第二个函数的选择过程。分部积分公式可表示为以下两种形式：

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
$\int$ (first function) (second function) $d x$ = first function $\times \int$ (second function) $\int \left[ \frac{d}{dx} \text{(first function)} \times \int \text{(second function)} dx \right] dx$

In this formula, we used the terms “first” and “second”. It means there is definitely some importance for the order of the functions in the given product of functions. Usually, the first function ( $u$ ) will be selected in such a manner that the process of finding the integral of its derivative must be easy. To simplify the selection of the first function, we use the ILATE rule. The priority of first function is determined by this rule. In ILATE rule, each letter stands for the abbreviation of a specific type of function, described as follows:
在该公式中，我们使用了“第一个”和“第二个”这两个术语，这表明在给定的函数乘积中，函数的顺序具有明确的重要性。通常，选择第一个函数（ $u$ ）时，需确保求其导数的积分过程简便。为简化第一个函数的选择，我们引入 ILATE 法则，该法则用于确定第一个函数的优先级。在 ILATE 法则中，每个字母分别代表一种特定类型函数的缩写，具体说明如下：

Letters of ILATE Rule 法则中的字母	Abbreviations 缩写含义	Examples 示例
I	Inverse trigonometric functions 反三角函数	$sin^{-1}x$ , $cos^{-1}x$ , etc
L	Logarithmic functions 对数函数	$\log x$ , $\ln x$
A	Algebraic functions 代数函数	$x^2$ , $\sqrt{x}$
T	Trigonometric functions 三角函数	$\sin x$ , $\cos x$
E	Exponential functions 指数函数	$e^x$ , $2^x$

The first function should be selected in such a way that it is as close to the top of the above list as possible.
选择第一个函数时，应优先选择在上述列表中位置最靠前的函数。

How to Apply ILATE Rule?

如何应用 ILATE 法则？

We know that we use integration by parts to integrate the product of two different types of functions. To apply integration by parts, we first need to decide what the first function is, and this can be done by using the ILATE rule. It is very simple: just select the function that comes first (from the top) in the above list as the first function.
我们知道，对于两种不同类型函数乘积的积分，需使用分部积分法。应用分部积分法时，首先要确定第一个函数，而借助 ILATE 法则即可完成这一步骤。方法十分简单：只需选择在上述列表中位置最靠前的函数作为第一个函数。

ILATE rule (or) LIATE rule

The steps of applying ILATE rule are explained in detail below:
以下详细说明应用 ILATE 法则的步骤：

Identify the type of each function: classify each function into Inverse trigonometric (I), Logarithmic (L), Algebraic (A), Trigonometric (T), or Exponential (E).
确定每个函数的类型：将每个函数归类为反三角函数（I）、对数函数（L）、代数函数（A）、三角函数（T）或指数函数（E）。
Check which of the given functions appears first in the ILATE (or LIATE) order, and select it as the first function.
查看给定函数中，哪个函数在 ILATE（或 LIATE）的优先级顺序中位置更靠前，将其选为第一个函数。
Select the remaining function as the second function.
将剩余的函数选为第二个函数。
Apply the integration by parts formula.
应用分部积分公式进行计算。

For example, when we need to integrate $\int x \ln x \, dx$ , we follow the above steps:
例如，当我们需要计算积分 $\int x \ln x \, dx$ 时，可按照以下步骤进行：

$x$ is an algebraic function; $\ln x$ is a logarithmic function.
$x$ 为代数函数， $\ln x$ 为对数函数。
Among Algebraic (A) and Logarithmic (L), we know that Logarithmic (L) comes first in the ILATE rule. Therefore, the first function is $\ln x$ .
在代数函数（A）与对数函数（L）中，根据 ILATE 法则，对数函数（L）的优先级更高，因此第一个函数为 $\ln x$ 。
The remaining function, $x$ , is the second function.
剩余的函数 $x$ 作为第二个函数。
Apply the integration by parts formula:
应用分部积分公式：
$\begin{align*} \int x \ln x \, dx &= (\ln x) \int x \, dx - \int \left[ \frac{d}{dx} (\ln x) \times \int x \, dx \right] dx \\ &= (\ln x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \right) dx \\ &= \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{1}{2} \int x \, dx \\ &= \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C \\ &= \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C \end{align*}$

Here are a few more examples of selecting the first function using the ILATE rule:
以下是更多利用 ILATE 法则选择第一个函数的示例：

$\int \ln x \cdot \sin x \, dx$ → $\ln x$ is the first function.
$\int \ln x \cdot \sin x \, dx$ → 第一个函数为 $\ln x$
$\int x \csc x \, dx$ → $x$ is the first function.
$\int x \csc x \, dx$ → 第一个函数为 $x$
$\int x \sin^{-1}x \, dx$ → $sin^{-1}x$ is the first function.
$\int x \sin^{-1}x \, dx$ → 第一个函数为 $sin^{-1}x$
$\int x e^x \, dx$ → $x$ is the first function.
$\int x e^x \, dx$ → 第一个函数为 $x$

How to Apply ILATE Rule for a Single Function?

如何对单个函数应用 ILATE 法则？

Sometimes, we encounter the integration of single functions such as $\ln x$ , $sin^{-1}x$ , etc. However, there is no direct integration rule available to find such integrals. Although we can derive such rules, they are difficult to remember. In such cases, we write “times 1” after the given function, which turns the integrand into a product of two functions, making the application of the LIATE rule possible. Consider the example below.
有时，我们会遇到单个函数的积分运算，例如 $\ln x$ 、 $sin^{-1}x$ 等。但目前没有直接可用的积分法则来计算这类积分；尽管我们可以推导相关法则，但这些法则难以记忆。在这种情况下，我们可在给定函数后乘以“1”，将被积表达式转化为两个函数的乘积，从而能够应用 LIATE 法则。请看以下示例：

Example: Find the integral $\int \ln x \, dx$ .
示例： 计算积分 $\int \ln x \, dx$ 。

Solution:
解答：

We rewrite the given integral as $\int \ln x \times 1 \, dx$ .
我们将给定的积分改写为 $\int \ln x \times 1 \, dx$ 。

By the LIATE rule, it is clear that the first function is $\ln x$ and the second function is $1$ . Now, apply the integration by parts formula:
根据 LIATE 法则，第一个函数为 $\ln x$ ，第二个函数为 $1$ 。接下来应用分部积分公式：
$\begin{align*} \int \ln x \times 1 \, dx &= (\ln x) \int 1 \, dx - \int \left[ \frac{d}{dx} (\ln x) \times \int 1 \, dx \right] dx \\ &= (\ln x) \cdot x - \int \left( \frac{1}{x} \cdot x \right) dx \\ &= x \ln x - \int 1 \, dx \\ &= x \ln x - x + C \end{align*}$

Important Notes on ILATE Rule:
关于 ILATE 法则的重要说明：

ILATE rule is used to determine the first function in integration by parts.
ILATE 法则用于确定分部积分中的第一个函数。
Choose the first function as the one that appears earliest (from the top) in the list specified by the ILATE rule.
选择在 ILATE 法则列表中位置最靠前的函数作为第一个函数。
ILATE rule can also be used to integrate a single function (in the case of logarithmic and inverse trigonometric functions) by treating the second function as $1$ .
对于单个函数（如对数函数和反三角函数）的积分，可将第二个函数视为 $1$ ，从而应用 ILATE 法则。
LIATE rule works in the same way as the ILATE rule.
LIATE 法则的应用方式与 ILATE 法则完全相同。
The ILATE rule can be applied multiple times in a single integration process.
在一次积分运算中，ILATE 法则可多次应用。
Sometimes, using other integration methods instead of the ILATE rule simplifies the process. For example, to find $\int \frac{\ln x}{x} \, dx$ , using the substitution method is easier than using integration by parts.
有时，采用其他积分方法（而非 ILATE 法则）会使运算过程更简便。例如，计算 $\int \frac{\ln x}{x} \, dx$ 时，使用换元法比分部积分法更简单。