微积分 | 导数符号与微分概念解析

注：本文为 “微积分符号” 相关合辑。
英文引文，机翻未校。
中文引文，略作重排.。
未整理去重，如有内容异常，请看原文。

本文是从此前发布的长文中按类重编辑再发布。

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Why Do People Treat dy/dx as a Fraction?

为什么人们会把 $\frac{dy}{dx}$ 当作分数来处理？

February 2, 2018 / By Dave Peterson

Here is a recent question from Fida, another long-time “patient” of ours at Ask Dr. Math:
这是来自 Ask Dr. Math 的另一位长期“患者”菲达最近的一个问题：

I hope you won’t mind answering a question.
希望你不介意回答一个问题。
 
I have seen people treating $\frac{dy}{dx}$ as fraction although it is not. I am guessing it is a handy shortcut. But what is the proof for that?
我看到人们把 $\frac{dy}{dx}$ 当作分数来处理，尽管它并不是一个分数。我觉得这可能是一个方便的捷径。但有什么证明吗？
 
e.g. in U-substitution
例如，在 U 代换中
 
Here is a fragment where they do this trick
这里有一个片段展示了这种技巧：
 
$u=\sin x$

$\frac{du}{dx}=\cos x$

$du=\cos xdx$

In my response, I quoted an unpublished question and answer of mine from 2015, which in turn refers to several related answers in the archive:
在我的回答中，我引用了我 2015 年的一个未发表的问题和答案，它又引用了档案中几个相关答案：

What you say is exactly how I think of it: the notation is a shortcut to the application of various theorems. I would not say there is a single proof for this in general, but rather each theorem (e.g. integration by substitution) is proved without using the fraction notation, and then we note that the content of the theorem essentially says that you can, in this setting, treat $dx$ and $dy$ as individual entities in a certain way.
你说的正是我的想法：这种符号是一种捷径，用于应用各种定理。我不会说这有一个普遍的单一证明，而是每个定理（例如代换积分法）都是在不使用分数符号的情况下证明的，然后我们注意到定理的内容本质上表明，在这种情况下，你可以以某种方式将 $dx$ 和 $dy$ 作为单独的实体来处理。
 
The underlying reason, ultimately, is that the derivative is defined as a limit of fractions, and so properties of fractions “survive the passage to the limit”.
最终的根本原因是，导数被定义为分数的极限，因此分数的性质“在极限过程中得以保留”。
 
Here is a question and answer from a couple years ago about your issue:
这里有一个几年前关于你问题的问答：
 

Question:
问题：
 
So recently we’ve been going over integration in Calculus. In subjects like integration by substitution and differential equations she said that you had to cross multiply $\frac{dy}{dx}$ to isolate either $dy$ or $dx$ for integration. I always thought $\frac{dy}{dx}$ was a function like a sine or cosine and I don’t see why you can break up $\frac{dy}{dx}$ by cross multiplying. What do $dy$ and $dx$ represent?
最近我们在微积分中复习了积分。在代换积分和微分方程等主题中，她说你需要交叉相乘 $\frac{dy}{dx}$ 以分离出 $dy$ 或 $dx$ 用于积分。我一直认为 $\frac{dy}{dx}$ 是一种像正弦或余弦这样的函数，我不明白为什么你可以通过交叉相乘来拆分 $\frac{dy}{dx}$。$dy$ 和 $dx$ 代表什么？
 
I’ve always thought $\frac{dy}{dx}$ represented a type of function like logs or trig functions. Obviously, you can’t break up $\sin (x)$ into $s\cdot \sin (x)$. I thought the same rule applied to $\frac{dy}{dx}$. I don’t really understand what $dy$ and $dx$ are individually and why when divided, you get the derivative of a function.
我一直认为 $\frac{dy}{dx}$ 是一种像对数或三角函数那样的函数。显然，你不能把 $\sin (x)$ 拆分成 $s\cdot \sin (x)$。我以为同样的规则也适用于 $\frac{dy}{dx}$。我真的不太明白 $dy$ 和 $dx$ 分别是什么，以及为什么它们相除后能得到一个函数的导数。
 
Integration by substitution:
代换积分法：
 
$\int \sin (x^2)\cdot 2xdx$

Let $u=x^2$
$\frac{du}{dx}=2$
$2xdx=du$, The Cross-Multiplying step I don’t understand // 我不理解这一步交叉相乘
$dx=\frac{du}{2x}$
 
$\int \sin (x^2)\cdot 2xdx$
$\int \sin (u)\cdot 2x\cdot \frac{du}{2x}$
$\int \sin (u)du$
$-\cos (u)$
$-\cos (x^2)$
 
Differential Equation:
微分方程：
 
$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y}$
$ydy=2xdx$ The Cross-Multiplying step I don’t understand // 我不理解这一步交叉相乘
$\int ydy=\int 2xdx$
$\frac{y^2}{2}=x^2+C$
$y^2=2x^2+C$
$y=\sqrt{2x^2+C}$
 
I understand the thought processes behind substitution and differential equations. I have no problem with doing the homework problems. I just have a problem understanding what $dy$ and $dx$ are individually and why dividing them gets the derivative of a function.
我理解代换和微分方程背后的思维过程。我做作业没有问题。我只是不太明白 $dy$ 和 $dx$ 分别是什么，以及为什么它们相除能得到一个函数的导数。
 
Answer:
回答：
I like your illustration of $s\cdot \sin (x)$! You’re right that $\frac{dy}{dx}$ is defined as a single entity, $f^{\prime }(x)$, and is not really the fraction it looks like. But …
我喜欢你对 $s\cdot \sin (x)$ 的说明！你说得对，$\frac{dy}{dx}$ 被定义为一个单一的实体 $f^{\prime }(x)$，它并不像看起来那样是一个分数。但……
 
Here are some explanations of aspects of what is going on here:
这里有一些关于这里发生的事情的解释：

• Differentials
  http://mathforum.org/library/drmath/view/53678.html

• Can dy/dx Be Treated as a Fraction?
  http://mathforum.org/library/drmath/view/65462.html

• Why Does Integration by Substitution Work?
  http://mathforum.org/library/drmath/view/69805.html>

• Differential of a function
  http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_of_a_function

In one sense, you can just think of it all as a notation that works: because of several theorems that can be proved using the definition of the derivative, it turns out that (in specified situations) you can treat $\frac{dy}{dx}$ and the integral AS IF $\frac{dy}{dx}$ were a fraction and the $dx$ in the integral were its denominator, even though they really are not. The things you are doing with “fractions” are just ways to remember the results of those theorems. The reason this works out involves the fact that the derivative is defined as the LIMIT of a fraction, and much of its behavior still looks like a fraction; and similarly that the definite integral is defined as the limit of a sum of products with delta x, and its behavior still reflects that (within reason). In another sense, you can define something called a differential ( $dx$ , $dy$ ) in such a way that the derivative really IS the ratio of these. This can be done in a couple different ways, depending the level of rigor you want in your proofs (and the difficulty you can handle in understanding what they are talking about). Take a look at the pages I referred to, and we can discuss any questions you still have!
从某种意义上说，你可以简单地将所有这些视为一种有效的符号：由于可以使用导数的定义证明几个定理，结果表明（在特定情况下）你可以将 $\frac{dy}{dx}$ 和积分当作 $\frac{dy}{dx}$ 是一个分数，积分中的 $dx$ 是它的分母来处理，尽管它们实际上并不是。你用“分数”做的事情只是记住这些定理结果的方法。这种方法之所以有效，是因为导数被定义为分数的极限，其许多行为仍然像分数；同样，定积分被定义为与 $\Delta x$ 的乘积之和的极限，其行为仍然反映了这一点（在合理范围内）。从另一种意义上说，你可以定义一种称为微分（$dx$、$dy$）的东西，使得导数真正成为这些的比值。这可以通过几种不同的方式完成，这取决于你想要的证明的严格程度（以及你能够理解他们在说什么的难度）。看看我引用的页面，我们可以讨论你仍然有的任何问题！

Fida, you can find proofs of integration by substitution by searching for that phrase; here is one good source:
菲达，你可以通过搜索“代换积分法”这个短语来找到其证明；这里有一个很好的资料来源：

Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution

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导数符号定义、$dy/dx$ 含义与 $dy/dx$ 分数化应用

1. What Derivative Notations Mean

导数符号的含义

1.1 Leibniz Notation: $\frac{dy}{dx}$

莱布尼茨符号: $\frac{dy}{dx}$

The basic idea is that we write $\frac{dy}{dx}$ to remind us that the derivative is defined as
莱布尼茨符号 $\frac{dy}{dx}$ 的核心思想是为了提醒我们，导数的定义为

$\frac{dy}{dx}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

This is equivalent to the forms of the definition we discussed, where we called $\Delta x$ “h” and used $f(x)$ for $y$.
这与我们讨论的导数定义形式等价，我们将 $\Delta x$ 记为 “h”，并将 $y$ 表示为 $f(x)$。

When we say “derivative with respect to $x$,” we mean that we are talking about the rate of change of the function value in relation to the change in $x$, as opposed to some other variable that might be floating around.
当我们说 “关于 $x$ 的导数”（derivative with respect to $x$）时，指的是函数值的变化率与 $x$ 的变化量之间的关系，而非与其他可能存在的变量的关系。

For example, I could tell you how fast the temperature is rising “with respect to time,” in order to emphasize that I am talking about how much the temperature is increasing per day, say, rather than how much hotter it is for every mile you drive south.
例如，我可以描述温度 “关于时间” 的上升速度，以此强调我讨论的是温度每天升高多少，而非你向南行驶每英里时温度升高多少。

One place you will see multiple variables involved in one problem is when we use the chain rule（链式法则）:
在链式法则的应用中，我们会遇到一个问题涉及多个变量的情况：

$\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}$

There, it is very important which variable is used at each step.
在这里，每一步使用哪个变量至关重要。

1.2 Lagrange Notation: $f^{\prime }(x)$

拉格朗日符号: $f^{\prime }(x)$

The notation $f^{\prime }(x)$ is more formal, and avoids some of the dangerous implications of the $\frac{df}{dx}$ notation.
拉格朗日符号 $f^{\prime }(x)$ 更为正式，且避免了 $\frac{df}{dx}$ 符号可能带来的误导性含义。

It doesn’t suggest that the derivative actually IS a fraction (rather than the limit of a fraction); it just says we have a “derived function”（导函数） – a new function that we obtained from another by this process.
它不会暗示导数 “本身就是一个分数”（而是分数的极限）；它仅表示我们得到了一个 “导函数”（derived function）—— 即通过求导过程从原函数得到的新函数。

What makes this notation especially valuable is that it focuses attention on the function itself rather than on the variables.
该符号的核心价值在于，它将关注点放在函数本身而非变量上。

When we differentiate（求导）, we aren’t really doing anything to the variables, but only making a new function, the values of which turn out to be rates of change（变化率） of the given function.
当我们进行求导时，并非对变量进行操作，而是构建一个新函数，该新函数的值恰好是原函数的变化率。

1.3 Euler & Newton Notations

欧拉与牛顿符号

One is $Df$, which was mentioned last week.
一种是上周提到的 $Df$（欧拉符号），

The $D$ operator is essentially the same as $\frac{d}{dx}$.
其中 $D$ 算子本质上与 $\frac{d}{dx}$ 等价。

Another notation is $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$, which was used by Newton, and is still found particularly in physics.
另一种是牛顿使用的符号 $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$，该符号在物理学中仍被广泛使用。

The dot specifically indicates differentiation with respect to time（关于时间求导）; otherwise, it is equivalent to the prime notation（撇号符号） applied to a variable, like $y^{\prime }$.
符号中的点（dot）专门表示 “关于时间 $t$ 求导”；除此之外，它与变量的撇号符号（如 $y^{\prime }$）等价。

1.4 Second Derivative Notation: $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

二阶导数符号: $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

The second derivative（二阶导数） is just the derivative of the derivative, or
二阶导数是 “导数的导数”，即

$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d(dy)}{(dx{)}^2}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

You might read it as “the second derivative of $y$, with respect to $x$ TWICE”; that last word is the reason for the “$d{x}^2$”.
你可以将其读作 “$y$ 关于 $x$ 求两次导”；“两次” 这个表述正是分母写成 “$d{x}^2$” 的原因。

It is important to note that there is no $x^2$ in this notation, and in fact no multiplication（乘法） (i.e., it is not $d\ast x^2$).
需要注意的是，该符号中并不存在 $x^2$，也不表示乘法（即并非 $d\ast x^2$）。

Instead, “dx” as a whole is thought of as a quantity（整体量）, and the denominator is “$(dx{)}^2$”.
相反，“$dx$” 应被视为一个整体量，分母实际表示 “$(dx{)}^2$”。

2. What Do $dx$ and dy Mean?

$dx$ 与 $dy$ 的含义是什么？

2.1 Differentials as Linear Functions

作为线性函数的微分

The standard definition（标准定义） of the differential（微分） of a real-valued function（实值函数） $f$ of a real variable（实变量） is:
实变量实值函数 $f$ 的微分的标准定义为：

At a given point $x$, the differential $d{f}_x$ (df sub $x$; usually the $x$ is omitted) of $f$ is the linear function（线性函数） defined on $\mathbb{R}$ (the set of real numbers（实数集）) by:
在给定的点 $x$ 处，$f$ 的微分 $d{f}_x$（下标 $x$ 通常可省略）是定义在实数集 $\mathbb{R}$ 上的线性函数，其表达式为：
$d{f}_x(h)=f^{\prime }(x)\cdot h$

Everyday usage of the differential often suppresses the fact that the differential is a linear function.
在日常使用中，微分的 “线性函数属性” 常被简化。

For example, if $y=f(x)=x^2$, then we write:
例如，若 $y=f(x)=x^2$，我们会写成：

$dy=df=2x\cdot dx$

where $dx$ is used instead of $h$.
其中 $dx$ 替代了 $h$。

This is for good reason: the finite numbers（有限数值） $dy$ and $dx$ appearing in $dy=2x\cdot dx$ can be manipulated to obtain $\frac{dy}{dx}=2x$.
这样书写的合理性在于：通过对 $dy=2x\cdot dx$ 进行变形，可直接得到 $\frac{dy}{dx}=2x$。

2.2 Meaning of $dx$ in Definite Integrals

定积分中 $dx$ 的含义

An integral（积分） gives you the area（面积） between the horizontal axis（横轴） and the curve（曲线）.
积分表示横轴与曲线之间的面积。

For the definite integral（定积分） ${\int }_a^{b}f(x)dx$, we can think of it as the sum（和） of an infinite number of rectangles（无穷多个矩形）: each rectangle has height $f(x)$ and width $dx$ (an infinitely small width（无限小宽度） of $x$).
对于定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$，我们可将其理解为 “无穷多个矩形的面积和”：每个矩形的高为 $f(x)$，宽为 $dx$（即 $x$ 的无限小宽度）。

So what the equation says is:
因此，该等式的含义为：

Area equals the sum of an infinite number of rectangles that are $f(x)$ high and $dx$ wide (where $dx$ is an infinitely small distance（无限小距离）).
面积等于无穷多个 “高为 $f(x)$、宽为 $dx$（$dx$ 为无限小距离）” 的矩形的面积之和。

You need the $dx$ because otherwise you aren’t summing up rectangles and your answer wouldn’t be total area（总面积）.
$dx$ 是必不可少的，因为若缺少 $dx$，则不再是对矩形面积求和，结果也无法表示总面积。

2.3 Position of $dx$ in Integrals

积分中 $dx$ 的位置

It is common to learn about integration（积分学） in such a way that the “dx” seems to be a marker（标记） for the end of the integral, but it doesn’t work that way.
在学习积分时，人们常误以为 “$dx$” 是积分的 “结束标记”，但实际并非如此。

In fact, what you are integrating is the product（乘积） of a function and $dx$; and multiplication is commutative（交换律）!
事实上，积分的对象是 “函数与 $dx$ 的乘积”，而乘法满足交换律！

So these mean the same thing:
因此，以下两种写法含义相同：

$\int f(x)dx$ and 和 $\int dxf(x)$

If you then add something, you must use parentheses（括号） if it is to be part of the integral:
若后续需添加其他项，若该添加项属于积分的一部分，则必须使用括号：

$\int dxf(x)+g(x)=\left[\int f(x)dx\right]+g(x)$

is the sum of an integral and a function, while
表示 “一个积分与一个函数的和”；而

$\int dx(f(x)+g(x))=\int (f(x)+g(x))dx$

is the integral of the sum of two functions.
表示 “两个函数之和的积分”。

3. Why Do People Treat $\frac{dy}{dx}$ as a Fraction?

为何人们将 $\frac{dy}{dx}$ 视为分数？

3.1 Core Reason: Derivative as a Limit of Fractions

核心原因：作为分数极限的导数

The underlying reason（根本原因）, ultimately, is that the derivative is defined as a limit of fractions（分数的极限）, and so properties of fractions（分数的性质） “survive the passage to the limit”（在取极限过程中保留）.
归根结底，核心原因在于：导数被定义为 “分数的极限”，因此分数的某些性质在 “取极限的过程中得以保留”。

I would not say there is a single proof（单一证明） for this in general, but rather each theorem（定理） (e.g. integration by substitution（换元积分法）) is proved without using the fraction notation（分数符号）, and then we note that the content of the theorem essentially says that you can, in this setting（在该场景下）, treat $dx$ and $dy$ as individual entities（独立实体） in a certain way.
不能说存在一个通用的证明来支撑 “将 $\frac{dy}{dx}$ 视为分数”，但对于每个具体定理（如换元积分法），我们可以在不使用分数符号的情况下证明其正确性，随后会发现：这些定理的本质含义是，在特定场景下，我们可以以某种方式将 $dx$ 和 $dy$ 视为独立的实体。

3.2 Example 1: Integration by Substitution

示例 1：换元积分法

In integration by substitution:
在换元积分法中：

$\int \sin (x^2)\cdot 2xdx$

Let $u=x^2$
令 $u=x^2$

$\frac{du}{dx}=2x$

$2xdx=du$ (the “cross-multiplying” step（“交叉相乘” 步骤）)

$dx=\frac{du}{2x}$

Then 因此 $\int \sin (x^2)\cdot 2xdx=\int \sin (u)\cdot 2x\cdot \frac{du}{2x}=\int \sin (u)du=-\cos (u)=-\cos (x^2)$

This “cross-multiplying” is not really algebraic manipulation（代数变形） of a fraction, but a shortcut（简化记法） to the theorem of integration by substitution.
此处的 “交叉相乘” 并非真正意义上对分数的代数变形，而是换元积分法定理的简化记法。

3.3 Example 2: Differential Equations

示例 2：微分方程

In differential equations:
在微分方程中：

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y}$

$ydy=2xdx$ (the “cross-multiplying” step（“交叉相乘” 步骤）)

$\int ydy=\int 2xdx$

$\frac{y^2}{2}=x^2+C$（$C$ 为常数）

$y^2=2x^2+C$

$y=\sqrt{2x^2+C}$

Again, this “cross-multiplying” works because the theorem behind differential equations justifies（证明合理性） treating $\frac{dy}{dx}$ as a fraction in this context, even though it is not formally（形式上） a fraction.
同样，此处 “交叉相乘” 的合理性源于微分方程背后的定理：尽管 $\frac{dy}{dx}$ 在形式上并非分数，但在该场景下，定理允许我们将其视为分数进行操作。

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前文概要简述

一、《What Derivative Notations Mean》（导数符号的含义）

1.四大导数符号体系

• 莱布尼茨符号（$\frac{dy}{dx}$）：定义（$\frac{dy}{dx}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$）、“关于 $x$ 求导” 的含义、链式法则应用（$\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}$）

• 拉格朗日符号（$f^{\prime }(x)$）：形式特点（避免分数误导）、核心价值（聚焦函数本身而非变量）

• 欧拉符号（$Df$）：$D$ 算子与 $\frac{d}{dx}$ 的等价性

• 牛顿符号（$\dot{x}$）：专指 “关于时间 $t$ 求导”（$\dot{x}=\frac{dx}{dt}$）、与撇号符号（$y^{\prime }$）的关联

2.二阶导数符号（$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$）

• 定义来源（导数的导数：$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$）

• 符号解读（分母 “$d{x}^2$” 表示 “关于 $x$ 求两次导”，非 $d\ast x^2$ 或 $x^2$）

二、《What Do $dx$ and dy Mean?》（$dx$ 与 $dy$ 的含义是什么？）

1.微分的线性函数定义

• 标准定义（$d{f}_x(h)=f^{\prime }(x)\cdot h$，$dx$ 替代 $h$ 后 $dy=2x\cdot dx$）

• 日常简化（隐藏 “线性函数属性”，通过 $dy=2x\cdot dx$ 变形得 $\frac{dy}{dx}=2x$）

2.定积分中 $dx$ 的含义

• 几何意义（无限小宽度：定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 是 “高为 $f(x)$、宽为 $dx$ 的无穷多矩形面积和”）

• 必要性（无 $dx$ 则无法表示矩形宽度，结果不构成总面积）

3.积分中 $dx$ 的位置特性

• 交换律（$\int f(x)dx=\int dxf(x)$，因积分对象是 “函数与 $dx$ 的乘积”）

• 括号规则（添加项需括号区分 “积分内 / 外”，如 $\int dx(f(x)+g(x))$ 与 $\int dxf(x)+g(x)$ 的差异）

三、《Why Do People Treat $\frac{dy}{dx}$ as a Fraction?》（为何人们将 $\frac{dy}{dx}$ 视为分数？）

1.原因

• 导数的本质（分数的极限，分数性质在取极限后部分保留）

• 定理支撑（无通用证明，但换元积分法、微分方程等定理允许 “特定场景下视为分数”）

2.两大应用实例

• 换元积分法（$u=x^2$ 时 “$2xdx=du$” 的本质：非分数代数变形，而是定理的简化记法）

• 微分方程（$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y}$ 变形为 “$ydy=2xdx$” 的合理性：定理支撑下的场景化操作，非形式分数）

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微积分中导数符号与微分概念解析

1. 导数符号的含义与应用

1.1 微积分中为何存在多种导数符号？

在微积分学习中，常遇到 莱布尼茨符号（$\frac{dy}{dx}$）、拉格朗日符号（$f^{\prime }(x)$）、欧拉符号（$Df(x)$） 和 牛顿符号（$\dot{y}$） 四种主流导数表示法。这些符号源于不同数学家对“函数变化率”的理解，适用场景与表达侧重点存在显著差异，明确其含义是避免计算混淆的关键。

1.2 各符号的定义与适用场景

1.2.1 莱布尼茨符号（$\frac{dy}{dx}$）

• 定义来源：由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出，最初基于“无穷小量”概念——$\Delta y$ 表示函数 $y$ 的微小增量，$\Delta x$ 表示自变量 $x$ 的微小增量，导数定义为 $\frac{dy}{dx}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$。
• 现代修正：由于“无穷小量”缺乏严格逻辑基础，现代微积分通过 极限理论 重新定义该符号，明确 $\frac{dy}{dx}$ 是一个整体，表示“$y$ 对 $x$ 的导数”，而非 $dy$ 与 $dx$ 的除法（后续章节将解释单独 $dy$、$dx$ 的含义）。
• 优势与局限：
  • 优势：直观体现“变化率”的本质（因变量增量与自变量增量的比值极限），在多变量函数中可清晰标注求导对象（如 $\frac{\partial y}{\partial x}$ 表示“对 $x$ 求偏导”）；链式法则应用中形式直观，如复合函数 $y=f(u)$、$u=g(x)$ 的求导公式为 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$，可通过“分子分母约分”的形式记忆（需注意仅为记忆辅助，非真分数运算）。
  • 局限：易被误解为分数，且在高阶导数中符号需特殊注意（如二阶导数 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$，分母 $d{x}^2$ 表示“$(dx{)}^2$”，而非“$d(x^2)$”）。

1.2.2 拉格朗日符号（$f^{\prime }(x)$ 或 $y^{\prime }$）

• 定义来源：由约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）提出，直接以函数符号为核心，$f^{\prime }(x)$ 表示“函数 $f$ 在点 $x$ 处的导数”。
• 优势与局限：
  • 优势：避免“分数误解”，简化书写（尤其在单变量函数求导中），且可通过撇号数量直观区分导数阶数（如 $f^{\prime \prime }(x)$ 为二阶导数，$f^{\prime \prime \prime }(x)$ 为三阶导数）；聚焦函数本身而非变量关系，适合表达“函数在某点的导数值”，如 $f^{\prime }(1)$ 可直接表示“$f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数”。
  • 局限：在多变量函数中无法直接标注求导对象，需额外说明（如“$f^{\prime }(x,y)$ 对 $x$ 求导”）。

1.2.3 欧拉符号（$Df(x)$ 或 $D_{x}y$）

• 定义来源：由莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）提出，将“求导”视为一种 算子操作——$D$ 表示“求导算子”，$Df(x)$ 表示“对函数 $f(x)$ 施加求导操作”，与 $\frac{d}{dx}f(x)$ 等价。
• 优势：在高阶导数与线性微分方程中优势显著，如 $D^{2}f(x)$ 表示二阶导数（即 $\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$），方程 $D^{2}y-2Dy+y=0$ 可清晰体现“求导次数”。

1.2.4 牛顿符号（$\dot{y}$）

• 定义来源：由艾萨克·牛顿（Isaac Newton）提出，主要用于 物理领域，$\dot{y}$ 表示“$y$ 对时间 $t$ 的一阶导数”，$\ddot{y}$ 表示二阶导数（如速度 $v=\dot{s}$，加速度 $a=\ddot{s}$，其中 $s$ 为位移）。
• 关联与局限：本质是“特定自变量（时间 $t$）的拉格朗日符号简化”，即 $\dot{y}=y^{\prime }(t)=\frac{dy}{dt}$；仅适用于“对时间求导”的场景，通用性较弱。

1.3 关键注意点与高阶导数符号解读

• 所有导数符号均表示“函数在某点的变化率”，本质一致但表达侧重不同，需根据场景选择（如物理中常用牛顿符号，数学分析中常用莱布尼茨与拉格朗日符号）。
• 莱布尼茨符号的高阶导数标注规则：$n$ 阶导数表示为 $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$，其中分子 $d^{n}y$ 表示“对 $y$ 求导 $n$ 次”，分母 $d{x}^n$ 表示“对 $x$ 求导 $n$ 次”（非 $x$ 的 $n$ 次方）。
• 二阶导数符号 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 定义来源：是“导数的导数”，即先对 $y$ 求关于 $x$ 的一阶导数 $\frac{dy}{dx}$，再对该结果求关于 $x$ 的导数，数学表达为 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$；需注意分母“$d{x}^2$”不可理解为“$d(x^2)$”（对 $x^2$ 求微分）或“$x$ 的平方”，符号整体表示“二阶变化率”。

2. 微分 $dx$ 与 $dy$ 的本质

2.1 核心问题：单独的 $dx$ 与 $dy$ 是什么？

在莱布尼茨符号 $\frac{dy}{dx}$ 中，$dx$ 与 $dy$ 并非孤立存在，但在积分（如 $\int f(x)dx$）或微分方程（如 $dy=2xdx$）中，二者常单独出现。需明确：$dx$ 与 $dy$ 是“微分”，本质是线性函数，用于近似函数的微小增量。

2.2 微分的严格定义与几何意义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导（可导是可微的充要条件），则：

• 自变量 $x$ 的微分 $dx$：定义为 自变量的增量，即 $dx=\Delta x$（$\Delta x$ 为 $x$ 的任意微小变化量，可正可负）。
• 因变量 $y$ 的微分 $dy$：定义为 函数增量的线性主部，即
  $$dy=f^{\prime }(x)\cdot dx$$
  其中，$f^{\prime }(x)$ 是函数在点 $x$ 处的导数，$dx$ 是自变量微分。

几何意义

在平面直角坐标系中，$dy$ 表示“函数 $y=f(x)$ 在点 $(x,f(x))$ 处切线的纵坐标增量”，而 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ 是“函数曲线的纵坐标增量”。当 $\Delta x$ 趋近于 0 时，$dy$ 是 $\Delta y$ 的近似值（误差为 $\Delta x$ 的高阶无穷小）。

2.3 微分与导数的区别

对比维度	导数（$\frac{dy}{dx}$）	微分（$dy$、$dx$）
数学本质	函数在某点的变化率（常数或函数）	函数增量的线性主部（与 $dx$ 相关的量）
依赖对象	仅依赖 $x$（单变量函数中）	依赖 $x$ 和 $dx$（$dx$ 是自变量微分）
核心用途	描述函数的“瞬时变化趋势”	近似计算函数增量（如 $\Delta y\approx dy$）

2.4 微分在积分中的作用

在定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 中，$dx$ 的含义需结合积分定义理解：

1. 几何意义：$dx$ 表示“积分区间 $[a,b]$ 被分割后，每个小区间的宽度”（当分割份数趋近于无穷时，$dx$ 为“无穷小宽度”）。
2. 积分本质：${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示“无穷多个高为 $f(x)$、宽为 $dx$ 的矩形面积之和”，$dx$ 是确保积分维度（长度→面积）正确的关键符号（若缺少 $dx$，仅 ${\int }_a^{b}f(x)$ 无明确数学意义）。
3. 符号灵活性：
   • 乘法交换律：由于积分是“无限项乘积的和”，满足乘法交换律，因此 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}dx\cdot f(x)$，可根据计算便捷性选择形式。
   • 括号规则：添加额外项时，需用括号区分“积分内部”与“积分外部”，如 ${\int }_a^{b}dx\cdot (f(x)+g(x))$ 表示“对 $f(x)+g(x)$ 整体积分”，结果为 ${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$；而 ${\int }_a^{b}dx\cdot f(x)+g(x)$ 表示“对 $f(x)$ 积分后，再与 $g(x)$ 相加”，结果为 $\left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)+g(x)$。
   • 多变量积分注意：在二重积分 ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$ 中，微分顺序（$dxdy$ 或 $dydx$）需与积分限对应，不可随意交换。

2.5 进阶补充：微分形式的拓展

在微分几何中，$dx$ 被定义为“流形上的 1-形式”（一种线性函数），可用于描述曲线、曲面的局部性质，但其严格定义超出基础微积分范畴，基础阶段只需掌握“微分是线性近似工具”即可。

3. $\frac{dy}{dx}$ 的“分数假象”与理论依据

3.1 核心矛盾：$\frac{dy}{dx}$ 不是分数，为何可按分数操作？

由前文可知，$\frac{dy}{dx}$ 是导数的整体符号（表示极限 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$），并非 $dy$ 与 $dx$ 的除法。但在实际计算中（如变量代换、微分方程求解），人们常将其当作分数操作（如 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$，可类比分数约分），这种操作的合法性需通过 数学定理 支撑，而非符号本身的分数属性。

3.2 操作合法性的理论依据

3.2.1 导数定义与分数的“历史关联”

莱布尼茨符号的设计源于“无穷小量的比值”：早期微积分中，$\frac{dy}{dx}$ 被视为“无穷小增量 $dy$ 与 $dx$ 的商”（即 $\frac{dy}{dx}=\frac{\text{无穷小的}\Delta y}{\text{无穷小的}\Delta x}$）。尽管现代微积分用“极限理论”修正了“无穷小量”的逻辑漏洞，但导数仍保留了“分数的运算结构”（如链式法则、反函数求导法则），为按分数操作提供直观基础。

3.2.2 链式法则的“分数式表达”

设 $y=f(u)$，$u=g(x)$，且 $f(u)$ 与 $g(x)$ 均可导，则链式法则的公式为：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$
该公式的形式与“分数乘法约分”完全一致，因此可通过“分数思维”记忆，但本质是 复合函数求导法则的数学结果，而非真的“约分”。

3.2.3 积分变量代换的支撑

在不定积分 $\int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx$ 中，令 $u=g(x)$，则 $du=g^{\prime }(x)dx$（即 $\frac{du}{dx}=g^{\prime }(x)$），积分可转化为 $\int f(u)du$。此处“$du=g^{\prime }(x)dx$”的推导，看似是“将 $\frac{du}{dx}=g^{\prime }(x)$ 两边同乘 $dx$”（分数操作），实则是 积分变量代换定理 的简化表达：
$${\int }_a^{b}f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$
“按分数操作”是对该定理结果的便捷记忆，无需每次都严格证明定理。

3.3 提醒：避免“过度分数化”

虽然 $\frac{dy}{dx}$ 可按分数操作，但需注意 适用边界：

• 多变量函数的偏导数符号不可视为分数：在多变量函数中，偏导数符号 $\frac{\partial y}{\partial x}$（表示“对 $x$ 求导，其他变量视为常数”）绝对不可拆分或按分数操作。例如，对 $z=x+y$，$\frac{\partial z}{\partial x}=1$、$\frac{\partial x}{\partial y}=-1$、$\frac{\partial y}{\partial z}=1$，若按分数约分则会得出 $\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial z}=-1\ne 1$ 的矛盾结果，因偏导数的“求导对象依赖其他变量”，不满足分数的运算逻辑。
• 高阶导数符号不可拆分：二阶导数 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 不可拆分为 $\frac{d^{2}y}{dx\cdot dx}$，其本质是“对一阶导数 $\frac{dy}{dx}$ 再求导”（即 $\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$），“$d^{2}y$”和“$d{x}^2$”均为整体符号，与分数的分子、分母无关联。

3.4 典型应用实例与总结

典型应用实例

1. 换元积分法：以 $\int 2x\cdot \cos (x^2)dx$ 为例，令 $u=x^2$，则 $du=2x\cdot dx$，积分转化为 $\int \cos (u)du=\sin (u)+C=\sin (x^2)+C$。此处“$du=2x\cdot dx$”是换元积分法定理的简化表达，非随意的分数操作。
2. 微分方程求解：以 $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y}$（$y\ne 0$）为例，变形为 $y\cdot dy=2x\cdot dx$，两边分别积分得 $\frac{1}{2}{y}^2=x^2+C$，整理为 $y^2=2x^2+C^{\prime }$（$C^{\prime }=2C$）。这种“交叉相乘”是微分方程分离变量法定理的应用，确保变形后方程与原方程同解。

总结

“将 $\frac{dy}{dx}$ 视为分数”是 基础微积分中的实用简化方法，其合法性源于导数定义的历史关联与核心定理（链式法则、变量代换定理）的支撑。对于初学者，无需深入微分形式的严格理论，只需记住“操作有效且符合定理”即可，但需明确其“非分数”的本质，避免在多变量函数、高阶导数等场景中误用，平衡“计算便捷性”与“概念准确性”。

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微积分经典教材对比与美国微积分教材市场格局演变

图灵编辑部

	托马斯教材	哈佛教材	斯图尔特教材
主导时间	1950~1985	1985~1995	1995至今
严格性	极高，严格论证为主	中等，去数学化	高，形式化表达后置
可读性	学术化语言	通俗化语言	课堂式语言
案例丰富度	物理学应用为主	跨学科案例	跨学科案例

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via：

• What Derivative Notations Mean
  https://www.themathdoctors.org/what-derivative-notations-mean/

• What Do $dx$ and dy Mean?
  https://www.themathdoctors.org/what-do-dx-and-dy-mean/

• Why Do People Treat dy/dx as a Fraction?
  https://www.themathdoctors.org/why-do-people-treat-dy-dx-as-a-fraction/

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