他是历史上第二高产的数学家，幼年时被视为神童，一生共发表论文1475篇，与511人合作；他曾给 10 岁的陶哲轩辅导作业；他一生居无定所，借住过五百多个数学家的家，而每个人都以接待他为荣……他一天工作十八九个小时，一年四季奔波于世界各地，与数学界同行探讨数学难题，即便垂暮之年依旧热衷于猜想和证明，把一生献给了数学。
来源 | 《悠扬的素数：黎曼猜想趣史》
作者 | [英] 马库斯•杜•索托伊（Marcus du Sautoy）
译者 | 谈天星
01
埃尔德什：来自布达佩斯的奇才
研究院里还有一位来自欧洲的数学移民，他和塞尔贝格打过不少交道。挪威青年塞尔贝格一直被拉马努金的故事所激励，而另外一位年轻人也有过相似的心路历程。
20 世纪后半叶，来自匈牙利的保罗·埃尔德什（Paul Erdős）成了最引人注目的数学家之一。他们之间的缘分并非只和拉马努金有关。不过这一点存在争议。
塞尔贝格喜欢独自工作，而埃尔德什更擅长合作。他微微驼背，趿拉着拖鞋，穿着西装，全世界的数学办公室里都是这样的身影。常常可以看到他埋头写着笔记，旁边坐着新的合作对象，他们满怀热情地提出与数相关的问题，并给出解答。
他一生中写了 1500 多页论文，完全是肉眼可见的成就。唯一一个产量更高的数学家是欧拉。
埃尔德什是个数学修行者，他怕自己会分心，就抛弃了所有财产。他把赚来的钱都捐给了学生，或者当作解答问题的奖金。和他的前辈哈代一样，上帝在他的世界观中起到了不同寻常的引领作用。他将“宝典”的守护者称为“至上天尊”。对于所有已解和未解的数学问题，所谓宝典给出了最优雅的证明细节。
埃尔德什对一个证明的最高评价就是：“它直接引自宝典！”他用希腊字母 epsilon（即 ε）来称呼婴儿，因为数学家们会用这个字母指代非常小的数。他相信，所有的婴儿，也就是 epsilon，生来便知晓这本宝典是如何证明黎曼假设的。但问题是，六个月以后，他们就都忘记了。
埃尔德什喜欢听着音乐研究数学。他常常在音乐会上思如泉涌，抱着笔记本涂涂画画。他是个优秀的合作伙伴，不喜欢独处，但也极其厌恶身体接触。咖啡和咖啡因片都是他的精神支撑。他曾经有过一个著名的解释：“数学家就是一台机器，能将咖啡转化为理论。”
和许多伟大的数学家一样，因为父亲的缘故，埃尔德什有幸接触到了各种思想，这才对数产生了热情。有一回，父亲向埃尔德什展示了欧几里得对于有无穷多个素数的证明。父亲对这个论点做了调整，转而求证任意长度的不包含素数的数列，埃尔德什被这个想法吸引了。
如果你想要 100 个连续的数里没有素数，只需将 101 以内的所有数相乘。这个结果叫作 101 的阶乘，用 101! 表示。 101! 显然可以被 1 到 101 的所有数整除。如果 N 是其中一个数，那么， 101!+ N 也能被 N 整除，因为101! 和 N 都能被 N 整除。由此可知
都不是素数。这就是一个长度为 100，但不含素数的数列。
埃尔德什来了兴趣。从 101! 或者其他某个数往后数，要数多久，才能找到一个素数呢？欧几里得已经确认，必然存在某个素数，但是不是要等很久才能找到下一个素数呢？
毕竟，素数可是大自然抛硬币选出来的，从一个正面到下一个正面，谁知道要花多久呢？当然，倒也很难连续抛出1000 个反面，但这样的可能性是存在的。
埃尔德什进一步发现，这么一看，素数可不像是抛硬币抛出来的。这些数看似混乱无序，但并非随机分布的。
其实，早在 1845 年，法国数学家约瑟夫·贝特朗（Joseph Bertrand）就已对下一个素数有多远提出了猜想。他认为，如果你随便挑一个数，比如 1009，然后数到它的两倍，这一路上，肯定能遇见一个素数。
在 1009和 2018 之间确实有很多素数，第一个是 1013。如果贝特朗选择任意的数N，这个结论是否依然成立呢？他无法证明在任意的 N 和 2N 之间一定存在素数。提出这一惊人预测时，他才 23 岁。而这一猜想就是我们所说的贝特朗公设。
它并没有成为像黎曼假设那样长期未解的谜题。不到七年，俄国数学家帕夫努季·切比雪夫就给出了证明。切比雪夫在研究素数理论之初，证明过高斯猜想和实际素数个数的误差不会超过 11%。
而在这里，他采用了与当时相近的思路。他的方法没有黎曼的那般巧妙，但也足够有效。抛硬币时，什么时候能抛出下一个正面是未知的，但切比雪夫证明了素数具有一定的可预测性。
1931 年，年仅 18 岁的埃尔德什发表了他最初的成果，其中一个就是对贝特朗公设的新证明。但他失望地发现，他的证明并非首创。有人向他指出了拉马努金的成果。在拉马努金最后的成就中，有一条论证大大简化了切比雪夫对贝特朗公设的证明。年轻的埃尔德什虽深感沮丧，更多的却是喜悦，因为他认识了拉马努金。
埃尔德什想看看自己能不能做得比拉马努金和切比雪夫更好。他开始关注素数之间的间距有多大，终其一生，都醉心于这个问题。他提供了奖金鼓励旁人来证明自己的猜想，因此成名。
其中第二大奖金是 1 万美元，用来奖励证出相邻素数的间距。但他总是开玩笑说，为了赢得这些奖金而付出的劳动大概会违背最低工资法。我会在最后一章讲到素数间距问题的解答，这是最近发生的故事，可惜埃尔德什早已离开人世，无缘看到这个证明。
他曾经随口许诺过 100 亿的阶乘美元的奖金，用于奖励证出某个概括了高斯素数定理的猜想（这个金额就是 1 和 100 亿之间所有的数相乘）。要知道，100 的阶乘就已超出宇宙中的原子数量。所以，到了 20 世纪 60年代，当给出证明的那位数学家不打算索要这份奖金时，埃尔德什表示松了一口气。
20 世纪 30 年代，埃尔德什一到普林斯顿高等研究院，便立刻展现了自己的才华。为躲避欧洲战乱，马克·卡茨（Mark Kac）从波兰来到这里。
卡茨的领域是概率论，但他即将开设的一场讲座引起了埃尔德什的兴趣。
卡茨打算讨论一个函数，该函数描述了随着计数增加，每个数可被拆分成多少个不同的素数。比方说， 15=3x5 可以被拆分成两个不同的素数，16=2x2x2x2 只能拆出一个素数。根据拆分出的素数多少，每个数都有一个得分。
埃尔德什想起哈代和拉马努金曾经研究过这些分值的变化。但这些分值的随机性还是需要像卡茨这样的统计学家来研究。如果画一张计数增加时的分值变化图，在卡茨看来，它就是统计学家们所熟悉的钟形曲线，所代表的正是随机性。
卡茨虽然识别出了这个函数的特性，但他没有相应的数论技巧来证明自己关于随机性的直觉。“1939 年 3 月，我在普林斯顿的一次讲座中首次提出了这一猜想。对我，可能也对数学而言，幸好有埃尔德什坐在观众席上。他当时立刻来了精神，在讲座结束前完成了证明。”
此次成功激起了埃尔德什的终身热情，他开始将数论和概率论结合起来做研究。乍一看，这两门学科似乎截然不同。哈代曾经不屑一顾地宣称：“概率算不上纯粹数学，而是哲学或者物理上的概念。”数论家的研究对象是天然不可改变的。
正如哈代所说，不管我们乐不乐意，317 始终都是一个素数。而概率论则是一门不可预测的学科，你完全没法确定接下来会发生什么。
一枚公平的硬币会产生随机行为，而质地不均的硬币却能带来规律。
因此，黎曼假设揭示了这些素数为何看似随意。黎曼发现了零点和素数的关联，推翻了这种随机性。要想证明素数的确是随机分布的，首先要证明，在黎曼那面镜子的另一边，这些零点有序地分布在他的临界线上。
埃尔德什很喜欢这种对黎曼假设的概率解释。一方面，这让数学家们回想起当初为何进入黎曼的镜中世界。埃尔德什呼吁，数论应回归其根本——数。令人震惊的是，自从黎曼的虫洞被开启，数学家们进入新世界以来，鲜少有数论家会讨论数。
他们更关心黎曼图景的几何特征，想要寻找海平面上的点，而非谈论素数本身。埃尔德什掉转方向，回归到对素数本身的研究。他很快就发现，在这段归途中，自己并非孤身一人。
02
埃数学分歧
塞尔贝格最初是被黎曼的 ζ 图景所吸引的，但在普林斯顿，他的兴趣从 ζ 函数转向了素数本身。来到美国从事数学的同时，他也回到了黎曼之镜的实侧。
最早使用 ζ 函数的人是狄利克雷，他用这个复杂的工具来证明费马的某个猜想。狄利克雷证出，如果你往一个 N 小时制的时钟计算器中输入素数，它始终都会指向 1 点。
换而言之，除以 N 后，余数为 1 的素数有无穷多个。狄利克雷的证明依靠的是复杂的 ζ 函数。他的证明促成了黎曼的伟大发现。
然而，在 1946 年，也就是狄利克雷取得这一发现的 110 年之后，塞尔贝格给出了狄利克雷定理的初等证明，它就类似于欧几里得对存在无穷多个素数的证明。
在当时，人们普遍认为，如果不采用黎曼的理念，素数理论就不会有任何进展，但塞尔贝格的证明绕开了 ζ 函数，打破了这一心理障碍。这一巧妙的证明无须用到复杂的 19 世纪数学，古希腊人也是有可能读懂的。
匈牙利数学家保罗·图兰（Paul Turán）曾经访问过普林斯顿高等研究院，在此期间，他与塞尔贝格建立了深厚的情谊。他也是埃尔德什的好朋友。
1945 年，在解放后的布达佩斯，当他被苏军拦在街头时，他唯一拿得出手的身份证明就是与塞尔贝格共同撰写的论文。巡警对此印象深刻，而图兰也因此躲过一劫。图兰后来开玩笑说，数论还有这种妙用。
图兰迫切地想要知道塞尔贝格是基于什么样的想法证出了狄利克雷定理，但他只待一个春天就要离开了。塞尔贝格非常乐意向他展示一些细节，甚至建议在自己去加拿大续签证期间，由图兰讲解这个证明。而在与图兰交流的过程中，塞尔贝格展示的细节远超预期。
图兰在讲座中提到了塞尔贝格证出的一个公式。这是一个非常了不起的公式，但和狄利克雷定理的证明并无直接关联。
彼时埃尔德什就在观众席上，他意识到，这个公式刚好可以用来改进贝特朗公设，也就是 N 和 2N 之间一定有一个素数。埃尔德什想要看看，是不是非得扩展到 2N 才行。
比如，是不是总能在 N 和 1.01N 之间找到一个素数？他知道，这并非对所有的 N 都适用。毕竟，如果 N 是 100，那么在 100 和 101（100×1.01 ）之间并不存在任何整数，更不用说素数了。但埃尔德什认为，只要 N 足够大，按照贝特朗公设的理念，N 和 1.01N 之间就会有一个素数。
1.01 其实没什么特别的。埃尔德什相信，在 1 和 2 之间任选一个数，都是有效的。听完图兰的讲座后，埃尔德什意识到，塞尔贝格的公式为他的证明提供了缺失的一环。
“我回来后，埃尔德什跟我说，他想用这个公式来改进贝特朗公设，问我有没有意见。”这是塞尔贝格自己想出来的公式，但尚未取得下一步进展。“我当时没在研究那个，所以我说没意见。”
那时候，塞尔贝格正忙着处理许多现实问题。他要续签证，要在美国锡拉丘兹找到住所，因为下学期要去那里教书，还要为暑期的工程师课程备课。“不管怎么说，埃尔德什还是非常高效的，他成功找到了一个证明。”
有些事情塞尔贝格当初并没有告诉图兰，尤其是他为什么会思考贝特朗公设的原理。他是想借此完成素数定理的初等证明。埃尔德什的成果就是最后一块拼图，为塞尔贝格拼出了完整的证明。
他告诉埃尔德什，自己如何借助他的成果完成了素数理论的初等证明。埃尔德什建议，他们可以向出席图兰讲座的小组展示这一成果。但埃尔德什实在太兴奋了，他积极向各方发出邀请，承诺将会有一场精彩的讲座。塞尔贝格没想到会有这么多听众：
我到的时候是下午四五点钟，房间里已经挤满了人。我上前讲述了自己的论证，然后请埃尔德什介绍了他的部分。接着，我又详细解释了完成证明所需的其他步骤。因此，第一个证明是借助他的中间结果得到的。
埃尔德什提议，他们可以共同撰写一篇论文，来解释这个证明。但塞尔贝格解释道：
我从来都没有发表过联合论文。我真的很想分开发，但埃尔德什坚持要参照哈代和李特尔伍德的那套方式。而我从来都没有同意过合作。到美国的时候，我已经完成了在挪威的全部数学研究。我都是独自完成的，完全没有和任何人交流过……真的，我从来都不跟人合作。我会和别人聊天，但都是自己做研究，这比较符合我的性格。
也就是说，我们有两位性格迥异的数学家，其中一位完全自给自足，一生中只有一次，迫不得已才与印度数学家萨拉瓦达姆·乔拉（Saravadam Chowla）合写了一篇论文。
另一位则将合作推向了极致，以至于数学家们常常聊起自己的“埃尔德什数”，也就是从他们的论文到埃尔德什的论文中间所涉及的合作者数量。我的埃尔德什数是 3，这就意味着我与某人合著了一篇论文，而与他合作过的某人曾与埃尔德什一起写过论文。
埃尔德什有 507 位合作者，乔拉便是其中之一，与他合写过论文的塞尔贝格就有了埃尔德什数 2。有 5000 多位数学家的埃尔德什数都是 2。
提出拒绝以后，就像塞尔贝格所承认的：“事情失控了。”到了 1947年，埃尔德什已经建立了庞大的合作网和人脉。他会通过明信片向大家介绍自己的数学进展。
让塞尔贝格尤其无法忍受的是，当他到访锡拉丘兹时，前来迎接的教师问他：“你听说了吗？埃尔德什和一位斯堪的纳维亚的数学家一起完成了素数定理的初等证明。”后来塞尔贝格找到了一个替代方案，可以避开埃尔德什提供的中间步骤。接着他就独自发表了论文。
这篇论文发表在《数学年刊》（Annals of Mathematics）上，这是公认的世界三大顶尖数学期刊之一，安德鲁·怀尔斯最终也是在此发表了费马大定理的证明。
埃尔德什非常愤怒。他请赫尔曼·外尔来裁决此事。塞尔贝格回忆道：“我很开心，赫尔曼·外尔在听取双方说法后，最终完全站在了我这边。”埃尔德什发表了自己的证明，并且承认了塞尔贝格的贡献。
不过这样的故事实在令人唏嘘。虽然数学本身是超越世俗的，但数学家们的自尊心是需要得到尊重的。在一个定理前冠上你的名字，从而实现不朽，要推动创造的进程，再没有比这更好的动力了。
塞尔贝格和埃尔德什的故事强调了声誉和优先权在数学，其实也是在所有科学领域中的重要性。这就是为什么怀尔斯会在阁楼里独自研究费马大定理七年，这是不可分享的荣誉。
尽管数学家们就像是接力赛中的选手，要将手中的接力棒交给下一个人，但他们也始终期待着可以亲自越过终点线，实现个人荣誉。数学研究既需要跨世纪的合作，也充盈着对不朽的渴望。这是一个复杂的平衡。
初等证明的归属争议让埃尔德什饱受创伤，但他一生都保持高产，打破了大龄数学家终将沉寂的诅咒。
他没能在普林斯顿获得永久职位，于是选择做一个漂泊的数学家。没有家，也没有工作，他就喜欢这样，奔赴世界各地，突然到某位朋友那里，沉迷于他所热爱的合作，逗留几个礼拜，然后突然离开。
1996 年，首次证出素数定理的百年纪念年，他去世了。埃尔德什直到 83 岁依然在撰写联合论文。临终前不久，他说：“我们要想理解素数，至少还得再等 100 万年。
推荐阅读
《悠扬的素数：黎曼猜想趣史》
作者：[英] 马库斯•杜•索托伊（Marcus du Sautoy）
译者：谈天星
全新译本，20周年纪念增订版！增加了初版至今20多年间的素数进展和突破。
被译为11 种语言，全球累计销售百万册
荣获意大利皮亚诺奖，德国格丁根科学院萨托里乌斯奖
欧拉、高斯、黎曼、希尔伯特、兰道、哈代等大师攀登黎曼猜想高峰的天才与疯狂、失败与突破的数学史上最热血的人类智慧之战。
没有黎曼猜想就没有今天的互联网，顶尖数学家、计算机专家都在研究素数。
扫一扫
22
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
