计算是在小学和初中阶段需要学习的重要知识和技能，而巧算体现了计算问题的思维精华，能让孩子初步体会思考的乐趣，同时，学习巧算也是提高计算正确率、锻炼数学思维、深入理解数学概念的好方法。
原复旦大学附属中学实验班数学名师、现百万粉丝教育博主胡小群老师的《巧算大学问》这本书借由15道经典、简单的巧算问题及15道相关拓展题，介绍了等差数列求和、等比数列求和、最值问题、和差问题等15种知识，展现了从特殊到一般、举一反三、逆向思维、数形结合、有序调整、换元法等思维方式，阐释了题目背后蕴藏的算理知识和数学思想。
本书希望读者能摆脱生搬硬套、麻木记忆的学习方式，从简单的例子开始学透计算，一探巧算背后的大学问。
今天给大家分享的数学计算中的“位值原则”！
来源 | 《巧算大学问：15招通关速算》
作者 | 胡小群
文 | 【腾挪顿挫，分进合击】
时而集中，时而分散，深入理解“位值原则”，求和的视角由我做主！
题目：在方框内填入数字，使等式成立
这道题并不太难，大多数小朋友大概 1 分钟内能做出来。但是真正理解算理的小朋友，可以在 3 秒内口算得出答案。
我这么说，你是不是很吃惊？好吧，让我先猜一猜你的做法。我猜，你是从个位开始计算的：9 加上几，个位的得数会是 4 呢？那只能是
于是，你在第二行最右边方框内填入数字 5，顺便写下一个表示进位的 1；然后，你继续考虑十位。在十位上，几加 9 之后，再算上进上来的1，能使和的十位上的数字为 1 呢？那只能是
于是，你在第一行最右边的方框内填入数字 1，再写下一个表示进位的 1。反复这样做了 4 次之后，你最后算出了答案。
我是不是猜中了你的做法？如果你是这么做的话，那我想说，其实你对加法的理解还不够深刻。别着急反驳！让我们先把目光从这道题上挪开，来回顾一下“加法”的运算性质吧。
我们都知道加法有个重要的性质叫“加法交换律”：任意两个数相加，交换两个加数的位置并不会改变它们的和。
但比起知道“加法交换律”是什么，我更关心你是不是真的理解加数为什么可以交换。
为了解释这个问题，我们需要先回到加法的含义。所谓加法，就是把两个或两个以上的数（或量）合起来，变成一个数（或量）。比如 3 + 4 等于多少？可以理解成把 3 个“东西”和 4 个“东西”合并到一起，问一共有多少个东西。
打个比方，求任意两个数 a 与 b 的和，我们可以想象成爸爸有 a 元钱，妈妈有 b 元钱，如果爸爸和妈妈把钱都给了你，那你一共拿到多少钱？如果爸爸先给，妈妈再给，你就拿到了 a + b 元；反之，如果妈妈先给，爸爸再给，你就拿到了 b + a 元。显然，你最终能拿到多少钱和爸爸、妈妈给钱的次序是没有关系的，也就是说：
a + b = b + a。
但在加法中，除了刚才所说的交换，还有一种更神奇的交换。比如，我们观察图 7.1 中三位数加三位数的加法竖式。
这个竖式中的个位上是 3 + 6，而我们知道 3 + 6 = 6 + 3，因此，在个位求和时，我们可以根据交换律，将 3 和 6 交换一下位置，并不会影响计算结果。也就是说，我们可以把图 7.1 中的竖式变成图 7.2 中的样子。
这个“不起眼”的结论可以这么写：
两个正整数相加，交换它们的个位数，不会改变它们的和。
沿着这个思路思考，在十位上进行相同的交换，结论依然成立。比 如，现在十位上要算的是 2 + 5，而 2 + 5 = 5 + 2，所以交换这两个加数十位数上的数，不会改变它们的和。
依此类推，我们总结出的结论应该是：
两个正整数相加，交换它们相同数位上的数字，不会改变它们的和。
现在，让我们回到最开始的题目，你是否有了一些新的想法？
最开始的时候，我们之所以要一个个凑数，总共算 4 次，是因为两个加数都不确定，所以，我们没法通过一次计算就求出结果。那么，我们能不能通过一个小小的“交换”，把其中一个加数“求”出来呢？如果可以的话，我们之后只需再做一次减法，就可以算出另一个加数了。
在原题中，把第一个加数的个位和百位数字分别和第二个加数的个位和百位数字对调一下，竖式就能变成图 7.3 中的样子。
谁加上 1999 等于 7814 呢？只要算一下 7814 减 1999 就好了。问题是不是一下子就变得直观多了？
等等，别着急列减法竖式来计算，这是一道口算题。在题目 6 中，我们反复提及减法“同加同减差不变”的性质。相比 1999 这个数，我更喜欢它“隔壁”的 2000，所以，我把减数加 1，被减数也相应加 1，就能口算出结果啦：
于是我们可以快速把图 7.3 中的空都填出来，变成图 7.4 中的样子：
然后再调整一下，图 7.5 就是原题的答案啦：
搞定！好玩吧？
拓展题：
这道题简单！虽然是四位数相加，但数本身并不大。我们就直接加呗！
接着是
然后
——哎呀，还是列个加法竖式吧。
如果你一看到这道题，首先想到的是上面这种解法，那我会稍稍有点儿失望了。因为你好像还没把我刚才教你的东西彻底想明白，就急着开始这一题的挑战了。
来吧，我们回顾一下，刚才学了什么？两个正整数相加，交换它们相同数位上的数字，不会改变它们的和。
复习完毕后，你别先急着动笔，要学会冷静观察。这道题中的数有什么特点？你有没有发现，实际上在
中，一共只出现了 1 到 4 这四个数字。并且，每个数字在每个加数中恰巧各出现了一次。更重要的是，每个数字分别在个位、十位、百位、千位中也恰巧各出现了一次。
我们再仔细看看：在这个算式中，到底还有什么让我们觉得“不爽”的地方？我想，我们不喜欢的点在于这四个数字出现在不同的数中——太杂乱无章了。如果能把它调“整齐”一点儿，岂不好算得多了？
如果你对上一题的竖式还有印象的话，比较一下，本来是图 7.6：
唰！变个魔术，就变成图 7.7 的样子。
怎么样？这两个竖式的计算结果为什么相同，不用我再讲一遍了吧？答案是不是也呼之欲出了？实际上，如果理解了这个过程，你根本连竖式都不需要，就可以直接写出：
口算得到答案：
接下来，老规矩，我们要把这个想法挖得再深一点儿。这样的“交 换”也改变了求和的视角：这个交换其实是把“整体”的求和调成了“个 体”的求和。
以数字 2 为例，在
的求和的过程中，它在个位、十位、百位、千位中各做出了一次贡献。也就是说，只关注这四个 2 的话，它们在求和中实际上分别加了一次 2、一 次 20、一次 200、一次 2000。这样来看，我们不重新排列数字也没有关系，这四个 2 对求和的“总贡献”就是 2222。
这种思考方法来自对“位值原则”的理解：数是把数字和数位相结合来表示的。因此，从单个数字的角度来看，其实我们只需要关心它以什么身份参与求和——它是在个位上、十位上，还是百位或千位上？至于它在哪个加数中出现，并不值得关心。当你想通了这一层时，可能你连“交 换”的工作都懒得做了！
有些更难的问题，甚至非得通过这样的“个体”视角才能处理。比如下面这道题，很多高中生也做不出来：
用 1、2、3、4 组成各位数字不同的四位数，这些四位数的和是多少？
如果你要把这样的四位数都写出来，根据乘法原理，那可有整整
但如果换个角度，从每个数字出发来思考：1 在个位上出现了
它在十位、百位、千位上都是如此。所以，1 在求和中所做的“总贡献”是
同理，2、3、4 在求和中所做的“总贡献”分别是 6×2222、6×3333、6×4444。所以，这 24 个数的和就是
你看，我连这 24 个数都没写出来，就完成了求和。
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