哈尔莫斯：如何做数学研究？

turingbooks

于 2025-06-23 16:00:00 发布

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5Njc0MjIwMA==&mid=2649836277&idx=1&sn=e51bfe28e8856c99c7ecfebc1a82dcec&chksm=bf493f5b3523e4f41ee1a30e301434b39972db7fe5c93c9c50f3a25573c297c6c9851b453a12&scene=126&sessionid=0

保罗·哈尔莫斯，他是杰出的匈牙利裔美国数学家。作为冯·诺依曼的助手和鞅理论提出者约瑟夫·杜布的学生，他在逻辑、概率和统计、泛函分析等领域都做出了基础性的工作。

同时他还是优秀的数学教育家和作者，曾在美国芝加哥大学和普林斯顿大学等多所知名学府任教，更因为多部数学名著而享誉全球。他是美国数学会（AMS）的“斯蒂尔奖”（Leroy P. Steele Prize）得主。2012 年，美国数学协会（MAA）的一项重要写作荣誉更名为“保罗·哈尔莫斯 - 莱斯特·福特奖”。

他的著作《我想当数学家》的中文版于1999年首次在国内出版，时隔26年终于再版！

在这本被誉为20世纪“数学社会史”的传记中，哈尔莫斯讲述了自己与数学相伴的一生，以及同时代数学家们的种种趣闻。他亲自拍摄或收集了众多数学家的照片，让读者对这一群体产生全面而感性的认识。哈尔莫斯以数学家的角度深入讨论了该如何学习数学、如何做研究、如何营造良好的学习和学术环境，同时，他讲述了自己对数学的理解，并以亲身经历告诉读者：什么是真正的数学家，怎样才能成为一名数学家。

来源 | 《我想当数学家》

作者 | [美]保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）

译者 | 张十铭

首都师范大学基础数学博士，《微积分溯源》等图书优秀译者林开亮老师，在6月24号（周二）晚上八点解读哈尔莫斯的名著《我想当数学家》以及他所带给我们带来的启迪。

谁能告诉大家，如何做研究，如何发挥创造力，如何发现新东西？几乎可以肯定，没人能。很长一段时间以来，我一直努力学习数学，理解数学，寻找真理，证明定理，解决问题。

而现在，我将试着描述我是如何做到的。这个过程中最重要的部分是精神上的，这是无法形容的，但我至少可以尝试描述一下物质上的部分。

数学不是一门演绎科学，这是老生常谈。当你试图证明一个定理时，你并非只是列出假设，而后开始推理。你要做的是试错、实验、猜测。

你想查明事实是什么，在这方面，你所做的与实验室技术员的工作类似，但在精确度和信息量上是不同的。如果哲学家们有胆量的话，他们可能会像我们看待技术人员一样看待我们数学家。

我热爱从事研究，我渴望从事研究，我必须从事研究，而我讨厌贸然开始做研究——我总是尽可能地延缓开始时间。

对我来说，重要的是那些外在的大事，那些我可以奉献一生的东西，而不是那点儿内在的自我满足。高斯、戈雅、莎士比亚和帕格尼尼都非常卓越，他们的优秀带给我快乐，我钦佩和羡慕他们。他们也是有奉献精神的人。

卓越只有少数人才能达到，但奉献精神是每个人都可以拥有的，并且应该拥有；而没有奉献精神，生命就不值得延续。

尽管我在工作中投入了巨大的感情，我还是讨厌“开始做”，每次都是一场战斗和痛苦。难道没有什么事情可以（或必须）先做吗？我不该去削削铅笔吗？事实上，我从来不用铅笔，但“削铅笔”已经成为一种暗号，代表着任何事，只要这件事有助于推迟集中创造性注意力所带来的痛苦。

在图书馆查找参考资料、整理旧笔记、准备明天上课的教案，都可以当作借口：一旦没有这些事挡路，我就真的可以不受干扰地集中注意力了。

卡迈克尔抱怨说，作为院长，他每星期用于研究的时间没法超过 20 小时。

我听了很惊讶，现在我仍然感到惊讶。在我多产的那些年里，我大概平均每星期花 20 小时集中进行数学思考，但超过这个时间长度的情况非常罕见。

在我有生之年，有过两三次罕见的例外，那是在漫长的思想阶梯接近高潮迸发的时候。尽管我从未担任过研究生院院长，但我似乎每天只拥有三四小时做研究的精神能量，我是说“实实在在的做研究”，其余的时间，我写作、教学、评论、商议、评审、讲座、编辑、旅行，以及用我能想到的一切方式“削铅笔”。

每个做研究的人都会遇到“休耕期”，在我的“休耕期”里，其他的职业活动——甚至“堕落”到讲授三角学，都成了我谋生的一种借口：是的，是的，我今天可能没有证明任何新定理，但至少我很好地解释了正弦定理，我挣得了我的生活费。

数学家为什么要做研究？存在几种回答。我最喜欢的说法是，我们很好奇——我们“需要”知道。这跟“因为我们想要知道”的含义相差无几，我同样接受这种说法，它也是一种很好的回答。然而，还有其他的说法，更实际的说法。

我们给未来的工程师、物理学家、生物学家、心理学家、经济学家，当然还有数学家讲授数学。如果我们只是教他们去解决书中的问题，他们所接受的教育在毕业前就会过时。即使从粗略的、世俗的、工业的、商业的角度来看，我们的学生也必须准备好回答未来的问题，而这些问题在他们上课时甚至都没有被问过。

仅仅教会他们已知的一切是不够的，他们还必须知道如何发现尚未被发现的东西。换句话说，他们必须进行解决问题的训练，也就是做研究。一个并不总是在思考如何解决问题——那些他不知道答案的问题——的老师，他在心理上根本就没有准备好教他的学生去解决问题。

在做研究时，我不擅长的一个方面是竞争，因此我从来都不喜欢竞争。我没有足够快的速度去抢别人的风头。

我争取领先的办法是朝着与主流正交的方向走，希望能找到一片属于我自己的小而深的静水。我不愿浪费时间去证明那些著名的猜想，而后以失败告终；相反，我试着将缺失的概念分离出来，提出富有成效的问题。

你不可能在一生中经常做到这一点，如果这些概念和问题确实是“正确的”，它们就会被广泛采用，而你很可能会发现，自己在自己的学科发展中被那些拥有强大方法和深刻见解的人超越。很公平，我可以接受。这是一种合理的劳动分工。

我当然希望是自己证明了次正规不变子空间定理，但好在我至少做了一些事情：我引进了这一概念并指明了方向。置身于竞争之外的另一表现是，我从不强调快节奏。

我扪心自问，比最新成果晚上一两年再去耕耘，有什么不对吗？我告诉自己，这没什么错。但即使是对我来说，这样回答有时也行不通，而对一些心思不同的人来讲，这个回答则总是错误的。

当罗蒙诺索夫（Lomonosov）的成果（关于交换紧算子的联立不变子空间）和斯科特·布朗（Scott Brown）的成果（关于次正规算子）爆发时，我像周围的算子理论家一样兴奋，我渴望迅速了解细节。但是，这样的突破非常罕见，因此，我仍然可以快乐地落后于时代而生活。

很好，脱离竞争，与主流正交，落后于时代——我到底在做什么呢？答案是，我在写。我坐在书桌前，拿起一支黑色圆珠笔，开始在一张8.5 x 11的横格纸上写字。

我把“1”标在右上角，然后落笔：“这些笔记的目的是研究秩 1扰动对格结构的影响……”这一段写完后，我会在页边空白处标上大大的黑色粗体字“A”，然后继续往下写 B 段。

页码和分段字母构成了参考体系，通常有几百页，例如，87C 的意思是第 87 页上的 C 段。我把这些页放入三环活页夹里，在书脊处标上“逼近”“格”“积分算子”等。

如果一个专题大功告成，笔记就转变成论文，但是不管成功与否，笔记本是很难丢弃的。我书桌旁边的书架上总是放着几十本笔记。我一直希望那些未完成的笔记能够继续增厚，而那些得以出版的笔记最终将包含被忽视的宝贵见解，这些见解正是处理悬而未决的重要问题所必需的。

我会尽量长时间地坐在书桌前，只要我有精力或时间，我就会一直坐在那里。在工作进展到上升期的时候，比如当一个引理得到解决，或在最不济的情况下，一个未经检验但并非明显无望的问题被提出来时，我会试着将任务停下来。

这样，我的潜意识就可以继续工作，在最好的情况下，当我步行去办公室、去上课，甚至在晚上睡觉的时候，我都能在工作上取得进展。有时，一个难以捕捉的问题会让我睡不着觉，而我似乎开发出一种糊弄自己的方法。

翻来覆去一会儿之后——时间不长，通常只有几分钟——我就“解决”了这个问题。证明或反例在灵光一闪中出现，我心满意足地翻个身，便睡着了。几乎所有的闪念都是虚假的，不是证明有一个巨大的漏洞，就是反例不能推翻任何东西。

不要紧，我相信解决方案足够长，能让人迷迷糊糊入睡。奇怪的是，在夜里，在床上，在黑暗中，我从不记得要怀疑当时的“灵感”，它是如此受欢迎，让我毫无疑问地接受了它。

在某些情况下，它甚至被证明是正确的。我不介意按钟点工作。到了要去上课或该出去吃晚饭，必须停止思考的时候，我会高高兴兴地把笔记放在一边。我可能会在下楼去教室的时候，或在发动汽车并关上车库门的时候，一直在思考问题，但我并不讨厌被打断（我的一些朋友说他们讨厌被打断）。

这全是生活模式的一部分，我很欣慰地知道，在几小时之后，我们——我的工作和我——将重新聚拢到一块儿。

好的问题、研究的对象，从何而来呢？它们可能来自一个隐秘的洞穴，作家们在那里寻找情节，作曲家们在那里寻找旋律。没有人知道这个洞穴在哪里，甚至在幸运地偶然进入一两次之后，也没有人能记得它在哪里。

有一件事可以肯定：它们并非来自一个意在推广的模糊愿望。恰恰相反，几乎所有伟大数学思想的源泉都是特殊的情形，都是具体的例子。在数学中经常出现这样的情况：一个看似极具普遍性的概念，它的每一个实例在本质上都与一个小而具体的特殊情况相同。

通常情况下，推广或一般化首先是由特殊情况引起的。表达“在本质上相同”的一种精确方法是表示定理。关于线性泛函的里斯定理就是典型例子。在内积中固定一个向量来定义有界线性泛函，而有界线性泛函的抽象概念似乎是一个很好的推广，这个定理是说，实际上，抽象概念的每一个实例都以具体的特定方式产生。

这似乎是迪厄多内和我有意见分歧的众多主题之一。我曾经在美国马里兰大学做过一次研讨会报告，当时迪厄多内正在那里访问。报告的主题是正逼近（positive approximation）。我给自己设置的问题是，在希尔伯特空间上给定任意算子 A，求一个正（非负半定的）算子 P，使得||A-P||极小。我很幸运，

事实证明，有一个很小的具体特例，它本身包含了所有的概念、所有的难点，以及理解和克服它们所需的全部步骤。我的报告集中在这个特例上，即C²上由矩阵定义的算子。