原定3年写成，结果用了7年，没想到却成就了这部全球销量第一的微积分神作！

微积分是一门令人兴奋的学科，是人类智力所取得的最伟大的成就之一。

但学起来确实让人又爱又恨，晦涩难懂却又不得不懂。没关系，斯图尔特来了！

James Stewart是一位数学匠人，他花费近 7 年时间写出这本他理想中的微积分教材《Calculus》，起因竟然是学生在课间无意中跟他说的一句话：“Stewart博士，我们希望你能写一本微积分教材，因为我们觉得你的讲座比我们用的书好太多了。”

一年365天，他在教学和科研任务的间隙中穿插写作，有时每天会花上十几个小时，飞机起飞、火箭发射，他和助手搜寻了大量适合引入微积分概念的生活实例，本以为 3 年足矣打造一本他理想中的微积分教材，但令他也没有想到的是，7 年之后这本书才正式出版。这本极具专业性和匠人精神的教材得到了全球近百万读者的认可。

1987年《Calculus》出版上市后因讲解细致、易于理解、案例习题丰富一炮而红。迅速占领了加拿大和美国近 90％的微积分教材市场，哈佛、耶鲁、芝加哥等 600 余所知名高校，都将这本书作为自己的微积分教材。

如今，这本书已经更新到了第九版，多年间陆续被翻译成了 12 种语言，风靡世界。我国也在2014年引入了影印版，虽然也出版了双语版本，但也仅对书中一些较难的英文做了注释，所以至今没有完整的中文版《Calculus》。

现在好了！詹姆斯·斯图尔特  (James Stewart）的《斯图尔特微积分》的全彩中文版终于来了！

《斯图尔特微积分（上）》

作者：[加]詹姆斯·斯图尔特、[美]丹尼尔·克莱格、[美]萨利姆·沃森

译者：程晓亮 徐宝 华志强

01

致读者

阅读微积分教科书不同于阅读故事或新闻．如果想要理解一段话，必须反复阅读，不要气馁．你应该准备好笔、纸和计算器来画图或计算．

有些学生一开始就尝试做家庭作业，只有在遇到困难时才阅读正文．我们认为，在尝试练习之前，先阅读并理解正文才是更好的安排，尤其是应该查看定义以了解术语的确切含义．在阅读每个例子之前，建议把解答盖起来，并尝试自己解决问题．

这门课程的目的之一是训练逻辑思维——学会用连贯、循序渐进的方式写出练习的解答，并附上解释，而不仅仅是写出一串不连贯的方程或公式．

奇数题号练习的答案在附录 H 中．有些练习要求用语言解释或说明．在这种情况下，答案的表达方式不是唯一的，所以不要担心你没有找到确切的答案．此外，一个数值或代数式通常有几种不同的表示形式，所以如果你的答案与给出的答案不同，不要马上认为自己错了．例如，如果给出的答案是，而你得到的是，那么你是正确的，因为分母有理化后它们是相等的．

图标表示，这个练习要使用图像计算器或带有绘图软件的计算机来帮助你画出图像．但这并不意味着这些绘图工具不能用来检查你在其他练习中得到的结果．图标表示，除绘图之外，还需要更多的技术工具来完成练习．（详见“技术工具使用说明”．）

你还会遇到图，它提醒你不要犯错误．在许多学生容易犯同样错误的地方，这个图标会被放在页边空白处．

作业提示会提出一些问题，在没有给出答案的情况下让你朝着解决问题的方向前进．如果某个提示不能帮助你解决问题，你可以单击鼠标以显示下一个提示．

建议你在完成课程后保留本书作为参考资料，因为当你在后续课程中需要使用微积分时，你可能会忘记微积分的一些具体细节，那么本书将成为一个有用的工具．另外，因为本书所包含的材料多于任何一门课程，所以它也可以作为科学家或工程师的宝贵资源．

微积分是一门令人兴奋的学科，是人类智力所取得的最伟大的成就之一．希望你不仅能发现它的实用性，还能感受它的内在美.

02

前言

伟大的发现解决伟大的问题，但在解决任何问题的过程中都会有所发现．你要解决的问题可能并不难，但如果它挑战了你的好奇心、让你发挥了你的创造力，并且你用自己的方法解决了它，你可能会体验到兴奋感，也会享受发现所带来的胜利感．

——乔治·波利亚（George Polya）

马克·范·多伦（Mark Van Doren）说，教学是帮助学生发现的艺术．本书这一版延续了之前版本的传统，我们希望帮助学生发现微积分的实用价值和惊人之美．我们的目的是向学生展现微积分的实用性，并促进学生技术能力的发展，同时让学生学会欣赏微积分的内在美．牛顿在做出这个重大发现时无疑会有一种胜利感，希望学生也能体验到这样的感觉．

微积分学习的重点在于理解概念．几乎所有教授微积分课程的教师都认为理解概念应该是微积分教学的最终目标．为实现这一目标，我们将以图像、数值、代数公式和语言描述等方式呈现基本概念，并强调这些不同的表示方法之间的关系．可视化、数值和图像实验以及语言描述可以极大地促进学生对概念的理解．

此外，理解概念和掌握技能可以齐头并进，相互强化．

我们清楚地意识到，好的教学有不同的形式，微积分的教与学也有不同的方法，所以我们设计的讲解和练习考虑到了教与学的不同风格．本书的特色板块（包括专题项目、扩展练习、解题的基本原则和历史见解）强化了基本概念的学习和核心技能的掌握．我们的目标是为教师及学生规划他们自己的微积分发现之路提供所需的工具．

03

特色板块

每个特色板块都是补充不同的教学实践的材料．贯穿全书的有历史见解、扩展练习、专题项目、解题的基本原则，以及许多使用技术工具根据概念进行实验的机会．我们知道，在一个学期中很难有足够的时间来让所有的特色板块发挥作用，不过教师可以有选择性地使用，以吸引学生的注意力，进而强调微积分的丰富思想及其在现实世界中的重要意义． 

概念的练习

培养概念理解能力最重要的方法是解决教师布置的问题．为此，本书囊括了各种类型的问题．

一些练习开始时要求读者解释该节中出现的基本概念的含义（例 如，2.2 节、2.5 节、11.2 节、14.2 节和 14.3 节前几个练习），大多数练习是为了强化读者对基本概念的理解（例如，2.5 节练习 3~10，5.5 节练习 1~8，6.1 节练习1~4，7.3 节练习 1~4，9.1 节练习 1~5，11.4 节练习 3~6）．

其他练习通过图像或表格检验读者对概念的理解（例如，2.7 节练习 17，2.8 节练习 36~38 和练习 47~52，9.1 节练习 23~25，10.1 节练习 30~33，13.2 节练习 1~2，13.3 节练习 37~43，14.1节练习 41~44，14.3 节练习 2 和练习 4~6，14.6 节练习 1~2，14.7 节练习 3~4，15.1 节练习 6~8，16.1 节练习 13~22，16.2 节练习 19~20，16.3 节练习 1~2）．

许多练习都用图像将问题可视化（例如，6.2 节练习 1~4，10.4 节练习 43~46，15.5 节练习 1~2，15.6 节练习 9~12，16.7 节练习 24）．还有一些练习使用语言描述来检验读者对概念的理解（例如，2.5 节练习 12，2.8 节练习 66，4.3 节练习79~80，7.8 节练习 79）．

此外，所有复习小节都以概念题和判断题开始．我们特别重视图像、数值和代数方法的结合和比较（例如，2.6 节练习 45~46，3.7 节练习 29，9.4 节练习 4）

分级的练习

每节的练习都经过仔细的分级，从有关基本概念的练习，到训练技巧和绘制图像的练习，再到更具挑战性的练习，它们通常扩展了该节中的概念，回顾了前几节中的概念，或者涉及应用和证明． 

现实世界的数据

现实世界的数据为介绍、引入或说明微积分的概念提供了切实可行的方式．因此，许多例题和练习所处理的函数都是由这些数据或其图像定义的．这些现实世界的数据来自相关公司和政府机构，以及互联网和图书馆．

例如，1.1 节图1-1-1（北岭大地震的地震图），2.8 节练习 36（整容手术的数据），5.1 节练习 12（“奋进号”宇宙飞船的速度），5.4 节练习 83（新英格兰地区各州的耗电功率），14.4节例 3（热指数），14.6 节图 14-6-1（温度的等值线图），15.1 节例 9（科罗拉多州的降雪量），以及 16.1 节图 16-1-1（旧金山湾区的风速向量场）．

专题项目

令学生积极投入学习的途径之一是引导他们（可以采用小组形式）参与扩展专题，完成专题项目可以给学生一种巨大的成就感．本书中有三种专题项目．

应用专题包括能激发学生想象力的应用题．9.5 节末的专题研究被向上抛的球到达最高点和回到原高度，哪个所用的时间更长（答案可能会让你惊讶）．14.8 节末的专题用拉格朗日乘数法来确定三级火箭的每一级的质量，使得火箭以最小的总质量达到所期望的速度．

探索专题提出将在之后讨论的结论，或者通过识别规律来引导发现（例如，7.6 节末的专题探讨积分的规律）．一些探索专题研究几何方面的问题：四面体（12.4 节末）、超球体（15.6 节末）和三个圆柱体的交（15.7 节末）．

此外，12.2 节末的专题使用导数的几何定义来求悬链线的公式．一些专题充分利用了技术工具：10.2 节末的专题展示了如何使用贝塞尔曲线设计字母的形状用于激光打印机．

写作专题要求学生将今天的方法与微积分奠基人所用的方法进行比较，例 如，2.7 节末的专题中费马求切线的方法．另外，写作专题中还提供了参考文献．更多专题可在“教师指南”中找到．一些扩展练习也可以作为小的专题．（例 如，4.7 节有关蜂巢几何形状的练习 53，6.2 节有关旋转体缩放的练习 87，9.3 节有关海冰形成的练习 56．）

解题

学生通常很难解决不能通过明确的步骤得到答案的问题．作为乔治·波利亚的学生，詹姆斯·斯图尔特最先了解到波利亚对解题过程的令人愉快且精辟的见解．

在第 1 章末的“解题的基本原则”中，斯图尔特对波利亚的四步解题法做了改进．这些原则在整本书中都有明确和隐含的应用．其余每一章后面都有一个叫作“附加题”的小节，提供了解决具有挑战性的微积分问题的例子．

在解决“附加题”中的问题时，要牢记大卫·希尔伯特（David Hilbert）的建议：“为了吸引我们，一道数学题应该是困难的，但也不能是难以触及的，以免辜负我们的努力．”我们在自己的微积分课上，用这些问题获得了很好的效果．看到学生们如何应对挑战是令人欣慰的．

詹姆斯·斯图尔特说：“当我把这些具有挑战性的问题放到作业和测试中时，我会用不同的方式打分……如果学生能提出解题思路并识别出与问题相关的解题原则，我就会给他们加分．”

技术工具

使用技术工具时，清楚地理解屏幕上的图像或计算结果背后的概念尤为重要．如果使用得当，那么图像计算器和计算机是发现和理解这些概念的有力工具．本书既可以在有技术工具的情况下使用，也可以在没有技术工具的情况下使用．

我们使用两个特殊标记来表示何时需要技术工具提供特定的帮助．图标 表示练习需要使用绘图软件或图像计算器来帮助完成作图．（这并不是说作图技术不能用于其他练习．）图标 表示练习需要借助软件或图像计算器，而不是仅仅通过作图就能完成．WolframAlpha 和 Symbolab 等免费网站通常是适用的．

如果需要计算机代数系统的全部资源，比如 Maple 或 Mathematica，则会在练习中说明．当 然，技术工具不会让笔和纸过时．动手计算和画图通常比使用技术工具更有利于说明和强化一些概念．教师和学生都需要培养判断能力，知道何时适合使用技术工具，何时通过动手计算会获得更多的领悟．

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