《不焦虑的立体几何：学透稳拿分是》贼叉老师继《不焦虑的数学思想：让人人都能开窍》后的全新力作！
立体几何是高中数学学习的一个重点。本书旨在让读者全面、透彻地理解立体几何知识，养成良好的学习习惯和思考习惯，有效地提高学习效率。
作者全面讲解了立体几何的基本概念、基本位置关系、多面体、空间向量等相关内容，同时展现了平面几何与立体几何在学习、理解和解题上的联系与区别，帮助读者从初中顺利迈向高中阶段的几何学习。
作者根据多年的教学和高考阅卷经验，结合有代表性的例题和往年真题，有针对性地进行难点解析和思路推演。这是一本能帮助中学生自学自练、提高几何学理解力和解题能力的参考读物。
《不焦虑的立体几何：学透稳拿分》
作者：贼叉
我又食言了。我一直以为，为“不焦虑”系列写完数学思想方面的内容，我就可以封笔了，谁知有那么多家长要求我继续写，最好覆盖中小学阶段数学学习上的所有知识点。说实话，这番厚爱让我这“厚脸皮”的家伙不禁有些惶恐。思来想去，我决定把中学数学的最后两块主要内容——立体几何和平面解析几何——给大家梳理一下。
这两块内容是历年各地高考解答题中的必考知识点。20 世纪 80 年代至今，高考数学的解答题中出现了很多“过客”。比如曾经红极一时的复数，如今沦为选择题或填空题，甚至成了送分题；概率是“杀进杀出”，时而出现，时而被忽略。真是“城头变幻大王旗”，唯有立体几何和解析几何岿然不动。当然，随着时间的推移，这两块内容的考查难度和讨论热度在不断变化，我们的应对方法当然也要随之变化。
01
如何学好立体几何？
从本质上来说，立体几何的核心问题和平面几何没有任何区别——仍然是研究数量关系和位置关系。只不过，在引入更多的平面图形和立体图形后，产生这两种关系的对象多了许多。比如，平面几何中的角度问题仅会涉及线与线之间的夹角，但到了空间中，线可以和平面有夹角，而平面和平面也可以有夹角。那么，这些夹角和平面几何中的夹角有什么关系和区别？在计算的时候，有没有新的方法可以运用呢？
可以肯定的是，这些新的角度问题必然和初中所学的平面几何中的角度问题有着千丝万缕的联系，但肯定又有所区别。因此，我们在学习上一定可以借助以往的经验，然而，在这些经验的基础上，我们必然要有所发展。
各位高中生朋友，你们的家长此时在学业上对你们“指指点点”的机会已经非常少了，接下来的路，基本只能靠你们自己走了。一边是学业难度不断加大，一边是主动帮扶自己的“拐棍”渐渐远离，这个过渡期并不是每个人都能顺利走好的。
所以，本书大概就只能由你们自己来读了。本书里不会再有“家长怎么教”的内容，更多内容是在告诉你们自己该怎么学、怎么思考。这将是一次大转变，从教到学都要转变。
幸运的是，写本书的人也曾经是一个普通学生，总是打着“我不喜欢炫技”的旗号，掩盖自己“不会炫技”的事实。贼老师在本书中使用的都是普通方法，对大多数学生而言，绝对实用又可靠。
和初中阶段相比，高中阶段所学的数学知识对定义的理解要求高了许多。我们在高中数学学习中所碰到的深层次问题，根本不是靠“刷题”就能解决的，我们必须对基本概念有更深刻的认识。近 20 年来，高考中立体几何的解答题的难度不断上升，但得分难度在不断下降，原来可能的失分点变成了必须得分的点，这是怎么回事？原因就是学习中引入了向量法，从而彻底解决了加辅助线的问题。
但向量法也有弊端——大量的计算会让解答过程变得冗长，而且，对于计算始终没有过关的学生来说，这反而增加了风险。所以，如何平衡纯几何法和向量法之间的权重，也需要根据学生自己的特点而定。
各位家长朋友，从本书开始，您们就彻底解脱了——把书扔给孩子自己研读，是正确的选择。
希望孩子们在看完本书后能很自信地说一句：“立体几何嘛，送分题！”
02
空间想象力不好，能学好立体几何吗？
如果一个人的空间想象力不够，能不能学好立体几何？
我经常被这么问，但这其实是一个很难回答的问题。首先，什么是“空间想象力”？“不够”的标准是什么？所谓“学好立体几何”的标准又是什么？空间想象力是人对具体事物的空间形式（空间几何形体）进行观察、分析、认知、重构的抽象思维能力，主要包括以下三个方面：
● 能根据所见的或根据文字所描述的空间几何形体的特征，在大脑中展现出相应的空间几何图形，并能正确地想象出其直观图；
● 能根据直观图，在大脑中展现出直观图所表现的几何形体及其组成部分的形状、位置关系和数量关系；
● 能对自己大脑中已有的空间几何形体进行分解、组合，由此想象出新的空间几何形体，并正确分析其位置关系和数量关系。
那么，一个人的空间想象力在什么情况下算“够”，什么情况下算“不够”？
拿我来说吧，我没法把一个具体的物体抽象成只剩下线条的立体图形。
从小到大，我的美术成绩一直很差，特别是在学素描时，我画的透视图和投影效果能把美术老师活活气“死”，但是，这并没有影响我学习立体几何。
我在读中学的时候，还学过一点点机械制图的“皮毛”，而在画三视图的时候，我也是笨得“要命”。家严是学机械出身的，有时候实在看不下去我那个着急的样子，偶尔“捉刀”一把——当然，在我看来他是为了自己“过把瘾”，不是为了替我完成作业——但是，在处理立体几何中三视图的相关题目时，我从未错过。
因此，无论按照哪个标准来看，我的空间想象力都是“不够”的，而且，我后来也并没有因为数学（尤其是立体几何）学得多了，空间想象力就得到了提升。
我的一位学美术的同学就不一样了，他对于空间图形的把握相当到位，但一说起学习立体几何……希望他永远不要来读本书，这样我们还能继续做好朋友。按他的话说吧，数学是他“终身的噩梦”，就连在我看来是白送分的立体几何问题，对他来说都够“喝一壶”的。
现在回头看，我觉得立体几何其实和平面几何一样，属于已经没有什么可以研究的学问，是一个已经“死亡”的数学分支。只不过，立体几何作为高考的必考内容，学生们不得不重视，所以，很多人会有上述的担心。
当然，我偷换了一下概念：只能说，我在处于高考难度的立体几何问题上不会失分，但要说我立体几何学得有多好，欸……倒也未必。我一直认为自己的平面几何学得很一般，很多时候只能借助三角学、平面解析几何或复数等方法解决一些题目，应付中考难度的问题绰绰有余。假如不限时间、不限方法的话，更高难度的平面几何问题对我来说大多算不得什么挑战。
我自己在立体几何方面的水平是高还是低？真心不好说。但我能保证在高考的立体几何问题上不失分——水平有限啊！可我相信，对大多数高中生来说，这水平已经“足够”了。因此，如果你还在哀叹自己的空间想象力不够好，担心自己学不好立体几何的话，那我只能送你一个成语——杞人忧天。
空间想象力对学习立体几何肯定有帮助，但哪怕这个能力差点儿，其实对学习数学来说，也不是什么太大的事。毕竟解决立体几何中的数量关系问题，主要还是靠计算能力；而针对位置关系问题，只要你能想象出垂直和平行关系，我觉得，你就具备了处理相关问题不丢分的基本能力。
与高中的代数部分和平面解析几何部分相比，立体几何的学习内容是相当“友好”的，大家完全没必要未战先怯，还早早给自己设定了“注定学不好”的人设——那都是借口。
03
不要活在自己的世界里
开始讲数学前，我还是想对高中阶段的孩子们再唠叨几句。
过年的时候，我和亲戚们聚餐。在饭桌上，我和上高中的侄子聊天，话题真是让孩子“肝肠寸断”啊：“你们数学学到哪里啦？……”我爱人在一旁看着受不了了，赶紧阻止我：“大过节的，你给孩子添什么堵？”我说：“那我该和高二的娃聊什么？追星？我也得懂啊！”
因为长辈们都在，我侄子不好意思和我直接翻脸，于是赔笑说：“我们学到圆和直线的位置关系了。”
我说：“哦，那就是解析几何了。那你要特别注意解析几何里的计算问题。反正就是算，然后用平面几何中的圆心代替圆，来研究圆和直线的位置关系。抓住这个关键，这部分内容就过关了。至于后面的圆锥曲线，要更注意计算。总之离不开算算算。
“潘多拉的盒子”打开以后，是很难合上的。随后我们又聊到立体几何的学习。侄子说，他很喜欢用纯几何的办法去做立体几何的题目，但十分抗拒向量法。我听了后勃然大怒，忍不住说了他几句。我侄子显然心有不甘，辩解说，他觉得用纯几何的办法解题才“漂亮”，而向量法太“丑陋”了。
其实，我生气的原因在于这孩子压根儿没弄明白自己应该干什么。
平面几何也好，立体几何也罢，说白了就是逻辑游戏——注意，是游戏。从数学角度看，这两门学科已经是“死亡分支”。说白了，纯几何再难，不过就是奇技淫巧。除了竞赛生，普通学生的目标如果就是顺利通过中考和高考，那根本没必要花那么大力气去研究。当然，有些平面几何爱好者以钻研这门学问为乐，但那都是不用“应试”的人了。
代数方法的存在，使得一切几何证明都变成了计算。究竟什么是数学之美？我不否认，用纯几何方法做题，确实会让人有一种莫名的快感，但顺应数学发展的人，才是真懂数学之美的人——用几条两两垂直的直线就把所有几何问题都破解了，这还不够美吗？直角坐标系在理论上打败了所有辅助线，这种高度的精炼不美吗？
当然，有人会说：美哪有什么标准？我就是觉得纯几何美，不行啊？
其实，我对侄子的数学审美品位没有太大意见，我最生气的点是，这家伙本末倒置——高考毕竟还是要看成绩，你找辅助线，就有找不到的风险，但用建立直角坐标系的方法，永远不会有这个烦恼。如果坐标系建得合理，就算得快一些；如果坐标系建得不合理，就算得慢一些。
无论如何，这种方法怎么都能把结果搞出来。加辅助线的门槛其实是很高的，有时在考场上，你还需要一点点运气，假如运气不在你这里，那么你的损失会很惨重。
一般而言，高考中的立体几何题的难度是中等偏易，基本属于送分题，如果你在这上面失误了，所受打击是相当大的，很可能直接影响你后续解决其他难题时的心情。
工业化相较于手工作坊的优势在于，工业化产品的品质稳定。虽然手工作坊可能会成就“神作”，但大部分手工产品的品质是比不过工业化产品的。
所以，要应付考试的学生最好不要根据自己的“好恶”来决定做题方式，而要根据“怎样才能尽可能多得分”来选择策略。沉浸在自己的世界里，对大多数学生来说恐怕并不是什么好事。
讲究方法，是成功的关键啊！好，让我们进入立体几何的世界吧。
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01
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01
《不焦虑的数学思想：让人人都能开窍》
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不是照本宣科，不是空谈思想。
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