计算是在小学和初中阶段需要学习的重要知识和技能，而巧算体现了计算问题的思维精华，能让孩子初步体会思考的乐趣，同时，学习巧算也是提高计算正确率、锻炼数学思维、深入理解数学概念的好方法。
原复旦大学附属中学实验班数学名师、现百万粉丝教育博主、数学科普作者、视频号“胡小群讲数学“创始人胡小群老师的《巧算大学问》这本书借由15道经典、简单的巧算问题及15道相关拓展题，介绍了等差数列求和、等比数列求和、最值问题、和差问题等15种知识，展现了从特殊到一般、举一反三、逆向思维、数形结合、有序调整、换元法等思维方式，阐释了题目背后蕴藏的算理知识和数学思想。本书希望读者能摆脱生搬硬套、麻木记忆的学习方式，从简单的例子开始学透计算，一探巧算背后的大学问。
来源 | 《巧算大学问：15招通关速算》
作者 | 胡小群
文 | 【步步为营，止于至善】
如果不能一步到位，那就不要心急，逐步调整、思考，直到调到“最优”的情形。
题目：把 100 拆成若干个正整数的和，请给出一种拆法，使这些正整数的乘积最大。
我猜，一看到这道题，马上就会有两类小朋友跳出来了。
第一类小朋友会说：“差越小，积越大。拆成 2 个 50，积最大。”如果你是这么想的，那你可能需要先补习一下语文了，因为你犯了一个比较严重的错误，也是做数学题时的一个“大忌”——审错题。注意啦，题目里说的是“拆成若干个正整数的和”，而不是只能拆成“两个”正整数的和。
有人可能会追问：“那在可以拆出不止两个正整数的时候，是不是也要让所有数一样大，才能使积最大呢？”这个问题提得很不错啊。首先呢，你会发现其实有很多种拆法，比如可以拆成 4 个 25，5 个 20，10 个10……不同的拆法可能得到不同的积。至于这道题的最优解是不是其中的一种拆法，等看完这道题的讲解，你就有答案了。
第二类小朋友可能会说：“多拆 3，少拆 2，不拆 1。”如果你是这么做的，却不知道这背后的道理，那我会更加心疼你一些——你估计被某些套路“毒害”得不轻了。
这其实是一道很难的题。在 2020 年前后，我曾在《文汇报》上登过一篇文章，就谈到了这道题。我说，这是可能造成老师之间“劣币驱逐良币”的经典例题：本来，一个好老师能通过这个例子很好地培养学生的思维能力，有些老师却用 3 分钟教一个口诀，然后就开始让学生套用做习题，这么一来，显得这些老师自己很厉害，其实对学生没好处。
我记得当时还有人评论：用口诀秒杀难题，又高效，又好用，有什么问题呢？
如果我们只需要应付一道填空题，大概没什么问题——只可惜，你并没有学到真正的数学。但退一步讲，就算是从“应试”的角度看，这种套路也可能会伤害你。几年前，我听说在某学校的考试中出现过这道题。有意思的是，那次考试不仅要求学生写出结果，还要写出理由。据说，大部分学生都傻眼了。不想明白解题思路，知其然而不知其所以然，就是给自己挖坑啊。
现在，让我带着你挑战一下这道难题吧。
你最开始的想法是什么？我猜，你可能会觉得没什么思路，是不是？其实和你一样，我第一次见到这道题的时候也没思路。没思路的时候怎么办呢？我也是先“瞎试试”，随便写一种拆法。
我们一起来玩一下吧。你想先试哪个？
要不，就像前面所说的第一类小朋友那样，我们先试一个看起来最靠谱的拆法：把 100 拆成 2 个 50 的和，此时相应的积是 50×50 = 2500。
如果你试的是其他方案，也没关系，反正后面的思路完全是一样的。
2500 是不是最大的积呢？哪儿有那么好的运气……其实，这有点儿像一个拆积木的游戏，有一组已经搭好的积木（100 这个数），现在我们把它拆开。在拆的过程中，一定有一个“最优解”（乘积最大的拆法），只是我们不知道要怎么拆。
当拆成 2 个 50 之后，我们还能继续拆下去吗？当然可以！比如，我们还可以把其中的一个 50 再拆成 2 个 25，也就是：
此时，相应的积为：
31 250 当然比 2500 大！这也说明，再拆一次，结果更“好”。但其实呢，你不用真的把 31 250 这个数值计算出来，你要比较的不过是这两种拆法所得的积，谁更大。
看看这两种拆法，100 = 50 + 50 和 100 = 25 + 25 + 50，其中都有一个 50，这是相同点。所以实际上，我们要比较的就是第一种拆法中没拆的那个 50，和第二种拆法中的那 2 个 25，两者谁的积更大。显然，
所以，就有：
好了，做到这里，要停一停了——多多少少，我们已经得到了一些结论。首先，我们否定了第一类小朋友最开始的想法，也就是说，我们现在知道拆成 2 个 50 并不是最优解。
但我希望你想得再深一点儿，从我们这一次小小的尝试出发，你能不能得到一些更一般的结论？除了“拆成 2 个 50 不是最优解”这个结论，你能不能再看出点儿什么？
比如，我的回答是：我们虽然现在不知道最优解是什么，但至少知道，在最优的拆法中，一定不会保留 50 这个数。因为，假设有一个小朋友给出的拆法是：
我们都可以在这个拆法的基础上，把 50 拆成 2 个 25：
你看，在这两个拆法中，前面的部分都是相同的，而我们已经知道 50 <25×25，所以多拆一次，也就是把 50 拆掉，就一定能让积变得更大。
来，跟我一起把这个结论认真地写下来：
在最优的拆法中，一定不会有 50 这个数，因为如果把 50 继续拆开，就会出现能让乘积变得更大的拆法。
这个想法是不是有一点儿我之前讲过的“假设调整法”的味道？假设你给出一个包含 50 的拆法，我只要在你的方案的基础上做一个调整，就能让结果变得更好。
但是，这道题的不同之处在于，通过一次调整，我们只能说明这次做得比前一次更好，却不能像处理鸡兔同笼问题时那样，仅仅调整一次，就能找出最终的答案。显然嘛，我们第二次拆成 1 个 50 和 2 个 25，也不是最好的结果。
没关系，数学和人生一样，一次调不好状态是常态。
一次调不好，就多调几次呗。这就是我们从这一题要学到的方法：逐步调整法。
比如，当有人给出（2）式中的拆法之后，你是不是还能照样再拆掉 1个 25，让乘积变得更大呢？注意啊，25 不能拆成 2 个 12.5，因为题目里的要求是拆成“正整数”。那我们可以试试 25 = 24 + 1。你大概很快就能验证出来，按照这样的拆法，乘积是会变小的——也就是说，不能这样调整。
那再换一下，把 25 拆成 23 + 2，把（2）式继续拆成：
你一定已经看出来了，因为 25 < 23×2，所以（3）式中拆法的乘积一定比（2）式中拆法的乘积更大。
这一步做完，如果我再问你：“现在又能看出什么结论？”你一定能脱口而出了吧？
在最优的拆法中，一定不会有 25 这个数，因为如果把 25 继续拆开，就会出现能让乘积变得更大的拆法。
我常常说，在数学学习中，我们总是要追求更“一般化”的结论，因为一般化的结论的适用范围更广，也往往更接近“真相”。
我们要追求更“一般化”的结论。
现在，我们走到了“一般化”的第一层：从 100 = 50 + 50 不是最好的拆法这一结果，得到一个“一般化”的思路——最优的拆法中一定不会保留 50。对于“保留 25 这个数”的情况来说，结论也是一样的。
然后，我们要走向“一般化”的第二层：在最优的拆法中，还有哪些数是一定不会保留的呢？让我们从大到小来梳理一下。
100 会出现在最优的拆法中吗？不会，因为 100 = 50 + 50，而50×50 > 100。也就是说，通过一次调整，把 100 拆开，就可以让乘积变得更大。
不过，每次都把一个数除以 2 来考虑积的变化，可能行不通，因为碰到奇数就没法这么做。如此一来，我们也可以这么看：在最后的结果中，一定不会有 100 这个数，因为 100 = 98 + 2，而 100 < 98×2；所以保留 100，不如拆成 98 + 2 更好。
注意啊，我这里并不是说 98 + 2 是最好的拆法，我现在只要确定100“不够好”就可以了。至于 98 和 2 还要不要继续调整，后面会讨论的。我们继续：
在最优的拆法中，一定不会有 99 这个数，因为 99 可以拆成 97 +2，而 99 < 97×2；
在最优的拆法中，一定不会有 98 这个数，因为 98 可以拆成 96 +2，而 98 < 96×2；
……
很快（嗯，还算快吧……），我们就会来到：
在最优的拆法中，一定不会有 5 这个数，因为 5 可以拆成 3 + 2，而5 < 3×2；
到这里，我们已经知道一个很不错的结论了：
在最优的拆法中，一定不会有 5~100 这 96 个数。
也就是说，最后只可能有 1、2、3、4 这四个数了，这可是往前迈了一大步呀！
那么，在最优的拆法中，会不会有 4 呢？4 有一些不一样。因为 4有两种拆法，一种是 4 = 1 + 3，另一种是 4 = 2 + 2。算一下：
也就是说，如果你继续拆 4 这个数，就会有两种可能：一种让乘积不变，另一种让乘积变小。不论怎么拆，我们发现，对 4 继续调整，其实结果不会变得更好，所以我们不能说“在最后的结果中一定不会有 4”。但是我们也发现，如果把 4 拆成 2 个 2 的话，乘积是不变的。注意，题目中只要求给出一种拆法，既然如此，我们不妨把 4“扔掉”。也就是说，关于 4，我们的结论是：
在最优的拆法中，可以没有 4 这个数。
如果最优解中有 4，那么我们也一定可以找到另一组最优解，把含 4的最优解中的每个 4 都用 2 个 2 代替，此时乘积是不变的。
暂停一下，最优的拆法中一定不会有 5~100 这 96 个数，因为从乘积最大化的角度去看，把这些数再拆一次，就可以让乘积更大，所以说，拆掉它们是更“赚”的。4 在理论上可以保留，但当把 4 拆成 2 + 2 时，从乘积的角度来看，不“赚”也不“亏”，所以 4 索性也不要了。
来看看 3。3 只能拆成 1 + 2，从乘积最大化的角度来看，把 3 拆开显然“亏”了，因为 3 > 1×2 嘛。所以对于 3 这个数，就不要再去拆了，拆一次就亏一点儿。
再看 2。2 只能拆成 1 + 1，从乘积最大化的角度来看，这么做也是“亏”的。所以对于 2 这个数，我们也是不应该拆的。
现在只剩 1 了。在前面把 25 拆成 24 + 1，或在把 3 拆成 2 + 1 的时候，你八成已经看出来了，最优的拆法中不可能有 1。
所以，关于“1”的一般情况是这样的：如果把任何一个大于 1 的正整数 a 拆成 (a - 1) 和 1 的和，那么乘积一定是变小的。或者反过来说，如果最后拆的结果中有 1，那么我们都可以调整一下：把这个 1 和其他任何一个数合并成一个新的数，乘积就会变大。于是，关于 1，我们得到了一个结论：
在最优的拆法中，一定不会有 1 这个数，因为把 1 和其他任何一个数合并成一个新的数，都能使乘积变大。
好了，现在我们又把结论向前推进了一大步，已经很接近终点了：
使乘积最大的拆法，一定可以写成只有 3 和 2 两个数的形式。
现在只剩最后一个问题了：既然最优的拆法可以写成一些 3 和一些 2的组合，那要多一点儿的 3 还是多一点儿的 2 呢？
在拆分的时候，2 和 3 其实是可以“互换”的，它们之间的关系是：
但是，如果算一下乘积的话，结果会不同：
这也就是说，只要出现 3 个及以上的 2，我们就应该把 3 个 2 换成2 个 3，这样一调整，乘积就会变大。不错，答案已经呼之欲出：
使乘积最大的拆法，一定可以写成只有 3 和 2 这两个数的形式，并且 2 最多只能保留 2 个。
最后的部分，你应该可以自己写下去了吧？别偷看！你先动笔写写看，写完以后，再和我写的过程比较一下。
我们要保留尽可能多的 3。在 100 中最多包含 33 个 3，如果拆成33 个 3，就有
这样就出现了 1 个 1——实际上，1 就是 100 除以 3 的余数，这和我们的结论矛盾。
我们再尝试 32 个 3：
这个拆法符合我们的要求。还有其他符合要求的拆法吗？不可能有了。如果让 3 继续变少的话，2 就会超过 2 个。而我们已经知道，一旦有 3 个 2，我们就应该调整成 2 个 3，好让乘积变得更大。
这样的结果说明，我们终于大功告成了！（4）式就是最优解。不信你就试试看，不管你在这个基础上怎么调整，都不可能让乘积再变大了。
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