40、递归循环图的哈密顿分解

递归循环图的哈密顿分解

在图论领域，哈密顿分解有着重要的研究价值。本文将深入探讨递归循环图的哈密顿分解问题，介绍相关概念、性质以及证明过程。

1. 基本概念

• 哈密顿分解 ：若图 $G$ 的度数为 $2k$，其边能划分为 $k$ 个哈密顿圈；若度数为 $2k + 1$，其边能划分为 $k$ 个哈密顿圈和一个 1 - 因子（图的 1 - 正则生成子图），则称图 $G$ 是哈密顿可分解的。哈密顿可分解的图是无环、连通且正则的。
  • 例如，完全图 $K_n$，当 $n$ 为奇数时可分解为哈密顿圈，$n$ 为偶数时可分解为哈密顿路径；完全 $k$ - 部图 $K(n_1, n_2, \cdots, n_k)$ 哈密顿可分解的充要条件是 $n_1 = n_2 = \cdots = n_k$。
• 递归循环图 ：递归循环图 $G(N, d)$（$d \geq 2$）的顶点集 $V = {v_0, v_1, v_2, \cdots, v_{N - 1}}$，边集 $E = {(v_i, v_j) | 存在 k, 0 \leq k \leq \lceil \log_d N \rceil - 1, 使得 i + d^k \equiv j (\bmod N)}$。这里每个 $d^k$ 称为跳跃，边 $(v_i, v_j)$ 的大小为 $d^k$。它也可定义为具有 $N$ 个顶点和跳跃为 $d$ 的幂（$d^0, d^1, \cdots, d^{\lceil \log_d N \rceil - 1}$）的循环图。

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