48、图论中的两个重要研究：新型扩张器与最大边不相交路径问题

图论中的两个重要研究：新型扩张器与最大边不相交路径问题

在图论的研究领域中，有两个重要的研究方向值得我们深入探讨，一个是关于新型扩张器（Spanners）的研究，另一个则是最大边不相交路径问题（MAX EDP）。下面我们将详细介绍这两个研究方向的相关内容。

新型扩张器的性质分析

在扩张器的研究中，有一些重要的引理和性质。
- 引理6 ：在ConRouTree中，每个祖先都有一个正常工作的“僵尸”（zombie）。假设最多有k个点失效，设u是任意一个正常工作的点，Cu是与u对应的叶孵化器（leaf incubator），那么在ConRouTree中，Cu的每个祖先都至少包含一个正常工作的僵尸。
- 引理7 ：孵化器包含附近的僵尸。如果一个孵化器C = (x, i)包含一个僵尸z，那么d(x, z) = O(ri)。

基于这些引理，我们可以分析扩张器的一些重要性质：
1. 拉伸性和容错性 ：引理6和引理7表明每个孵化器都包含一个附近的正常工作的僵尸，这意味着一个i级孵化器边将诱导出一个正常工作的僵尸边，其权重最多比原边大一个O(ri)的附加因子。根据引理1的第二个断言，得到的扩张器的拉伸性为1 + O(ϵ)，我们可以通过适当的常数对γ（以及其他参数）进行重新缩放来实现拉伸性为(1 + ϵ)。
2. 度 ：孵化器图H的度为ϵ−O(dim)，并且每个孵化器最多包含k + 1个僵尸。因此，每个点作为某个僵尸的标识出现时，其度最多为ϵ−O(dim) · k。根据引理5，每个点最多可以作为2k + 2个僵