15、图论中的几个重要结果及算法

图论中的几个重要结果及算法

1. 图的连通性相关结果

在图论中，对于连通图的一些性质有重要的推论。对于一个顶点数 $|V (G)| \geq 2$ 的连通图 $G$，有如下结论：$\mu(G)$ 是超 $\kappa$ 的当且仅当 $\delta(G) < 2\kappa(G)$。这里的证明过程中，对于不属于 ${K_n, K_{a,b}}$ 的图 $G$，在定理 25 中令 $m = 1$；对于 $G = K_n$ 或 $K_{a,b}$，可以直接验证 $\mu(G)$ 是超 $\kappa$ 的。

接下来考虑广义 Mycielskian 图的超边连通性。若 $G$ 是连通图，有 $\kappa’(\mu_m(G)) = \delta(\mu_m(G)) = \delta(G) + 1$。当 $G = K_2$ 时，$\mu_m(K_2)$（$m \geq 1$）不是超连通的，因为 $\kappa(G) = \delta(G) = 1$ 且 $\kappa(\mu_m(G)) = 2$。若 $V (K_2) = {v, w}$，集合 $F = {vw_1, v_1w}$ 构成一个边割，且这个 $F$ 不会孤立任何顶点。可以得出，对于任意顶点数 $|V (G)| \geq 2$ 的连通图 $G$，$\mu_m(G)$ 是超 $\kappa’$ 的当且仅当 $G \neq K_2$。

2. 图的无线电 $k$ - 着色算法

图的无线电 $k$ - 着色问题源于通信中的信道分配问题。对于一个正整数 $k$，简单连通图 $G = (V (G), E(G))$ 的无线电 $k$ - 着色是一个映射 $f : V (G) \to {0, 1, 2, \ldot