23、图论在电气网络中的应用与定理解析

图论在电气网络中的应用与定理解析

1. 电气网络与图的表示

电气网络是由电阻、电容、电感、电压源和电流源等电气元件相互连接而成的。每个网络元件都与两个变量相关联，即电压变量 (v(t)) 和电流变量 (i(t))。为了便于分析，我们会为网络元件指定参考方向，当电流方向与箭头方向一致时，(i(t)) 为正；当网络元件上的电压降方向与箭头方向一致时，(v(t)) 为正。将每个元件及其参考方向用有向边代替，就可以得到表示该网络的有向图。

例如，一个简单的电气网络及其对应的有向图如下：
| 电气网络与有向图 | 描述 |
| ---- | ---- |
| 电气网络 (N) | 包含多个电气元件的实际网络 |
| 有向图表示 (N) | 用有向边表示电气元件及其参考方向的图 |

2. 基尔霍夫定律

电气网络中电流和电压变量之间的物理关系由欧姆定律规定，而网络中电压变量之间的线性依赖关系和电流变量之间的线性依赖关系则由基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）来描述。
- 基尔霍夫电压定律（KVL） ：任何回路中电压的代数和等于零。例如，对于回路 1, 3, 5，有 (V_1 + V_3 + V_5 = 0)。
- 基尔霍夫电流定律（KCL） ：流出任何节点的电流的代数和等于零。例如，对于顶点 (b)，有 (-I_1 + I_2 + I_3 = 0)。

基尔霍夫定律的方程可以方便地写成矩阵形式：
- KCL：(Q_cI_e = 0)
- KVL：(B_cV_e = 0)