20、其他复杂度类的完全问题

其他复杂度类的完全问题

在计算复杂度理论中，确定不同复杂度类的完全问题是一个重要的研究方向。本文将深入探讨多个复杂度类的完全问题，包括PSPACE、指数时间以及多项式时间和对数空间等复杂度类。

1. 多项式层次结构相关

对于所有 $k \geq 1$，$B_k$ 是 $\Sigma^P_k$ 的 $\leq^P_m$-完全问题。这意味着对于 $\Sigma^P_k$ 中的任意语言 $L$，都存在一个多项式时间的多一归约，将 $L$ 归约到 $B_k$。虽然多项式层次结构最初由Stockmeyer定义和研究，但Karp也曾有相关的预见。对于自然的完全问题，已知 $\Delta^P_2$ 和 $\Sigma^P_2$ 存在自然的完全问题，但对于多项式层次结构的更高层次，尚未发现自然的完全问题。

2. PSPACE复杂度类

PSPACE复杂度类具有一些重要的性质和完全问题。
- PSPACE的有效表示 ：可以定义一个单带确定性图灵机 $PS_k$，其中 $k = \langle i, j \rangle$，$DM_i$ 是第 $i$ 个确定性图灵机，$M_j$ 是能够完全构造空间 $p_j(n) = n^j + j$ 的确定性图灵机。$PS_k$ 在输入长度为 $n$ 的单词 $x$ 时，首先模拟 $M_j$ 标记 $p_j(n)$ 个工作带单元，然后开始对 $DM_i$ 进行多轨道单带模拟。如果 $DM_i$ 试图离开标记区域，$PS_k$ 停止并拒绝输入；如果 $DM_i$ 在不离开标记区域的情况下到达接受状态，$PS_k$ 停止并接受输入。可以证明 ${PS_i} {i\geq1}$ 有效地表示了P