9、可计算性与复杂性理论：从基础到前沿

可计算性与复杂性理论：从基础到前沿

1. 可计算性与不可判定性相关问题

1.1 额外作业问题概述

这里有一系列关于可计算性和不可判定性的作业问题，涵盖了集合的性质、图灵机的行为判定等多个方面。以下是部分问题的列举：
1. 集合性质相关
- 证明每个无限可判定集都有一个不可判定的可计算枚举子集。
- 设 A 是不可判定的可计算枚举集，B 是 A 的无限可判定子集，证明 A - B 是不可判定的可计算枚举集。
2. 图灵机行为判定相关
- 证明判定一个图灵机从空白磁带开始是否会写入非空白符号是可判定的。
- 证明判定一个图灵机是否对每个具有偶数个符号的输入字都停机是不可判定的。

1.2 部分问题分析

以“证明每个无限可判定集都有一个不可判定的可计算枚举子集”为例，我们可以这样思考：
无限可判定集意味着存在一个算法可以在有限时间内确定一个元素是否属于该集合。而要找到其不可判定的可计算枚举子集，可利用可计算枚举集的特性，通过构造的方式来证明。

再如“证明判定一个图灵机从空白磁带开始是否会写入非空白符号是可判定的”，可以通过模拟图灵机的运行过程，由于图灵机的状态和规则是有限的，在有限的步骤内可以确定是否会写入非空白符号。

以下是部分作业问题的表格总结：
| 作业编号 | 问题描述 |
| ---- | ---- |
| 3.15 | 证明每个无限可判定集都有一个不可判定的可计算枚举子集 |
| 3.16 | 设 A 是不可判定的可计算枚举集