2、数学基础概念：图、逻辑、集合与代数的综合介绍

数学基础概念：图、逻辑、集合与代数的综合介绍

1. 图论基础

图是由有限非空顶点集 (V) 和边集 (E) 组成的对 (G = (V, E))。边是不同顶点的无序对，例如若 ((u, v)) 是边，则 (u) 和 (v) 是相邻顶点。如果每对不同顶点都有边相连，那么这个图就是完全图。

子图 (G’ = (V’, E’)) 需满足 (V’ \subseteq V)，且 (E’) 由 (E) 中两个端点都在 (V’) 中的边组成。若 (E’) 包含了 (E) 中所有两个端点都在 (V’) 中的边，则 (G’) 是 (G) 的诱导子图。

路径是由边连接的顶点序列，路径长度是路径上的边数，单个顶点是长度为 0 的路径。简单路径除了可能的第一个和最后一个顶点外，不重复任何顶点或边。长度至少为 1 且起点和终点相同的简单路径是环，环的长度至少为 3。包含图中每个顶点的环是哈密顿回路，例如序列 1,2,4,3,5,1 是图 1.1 中的哈密顿回路。

如果任意两个顶点之间都有路径相连，则图是连通的，顶点的边数是该顶点的度。

有向图由顶点集和弧集组成，弧是有序对。有向图中的路径是顶点序列 (v_1, \cdots, v_n)，对于每个 (i)（(1 \leq i < n)），都有从 (v_i) 到 (v_{i + 1}) 的弧。如果从任意顶点到其他任意顶点都有路径，则有向图是强连通的。

无向树是无环的连通图。有向图中的环定义与无向图类似，但有向图中可以有长度为 2 的环。有向树需满足：有且仅有一个没有入弧的顶点，称为根；其他每个顶点都恰好有一个入弧；从根到每个顶点都有路径。若 ((u, v)) 是树中的弧，则 (u) 是 (v) 的