73、基于蚁群优化的多边形逼近新算法

基于蚁群优化的多边形逼近新算法

在离散优化问题中，传统的精确求解方法往往具有指数级复杂度，而启发式方法能在相对较短的时间内找到接近全局最优的解。本文将介绍一种结合了主导点检测和蚁群优化搜索的多边形逼近新方法。

1. 蚁群优化算法

蚁群优化（Ant Colony Optimization，ACO）算法由Dorigo在1992年提出，其灵感来源于真实蚁群的觅食行为。蚂蚁通过释放信息素（pheromone）来标记路径，后续的蚂蚁在随机移动过程中，更倾向于选择信息素浓度高的路径，从而形成正反馈循环，使得信息素不断累积，引导蚂蚁找到更优路径。

在算法实现中，人工蚂蚁在问题图上从一个节点移动到另一个节点来构建问题的解（路径）。算法执行 $N_{max}$ 次迭代，每次迭代中 $m$ 只蚂蚁构建一条路径，应用概率决策规则。若蚂蚁从节点 $i$ 移动到节点 $j$，则将边 $(i, j)$ 添加到正在构建的路径中，直至完成路径构建。蚂蚁完成路径后，会在经过的边上沉积信息素，信息素的量与路径的质量成正比，即路径越短，沉积的信息素越多，以此引导后续蚂蚁向更优解搜索。

蚁群优化算法已被广泛应用于多种离散优化问题，如旅行商问题、二次分配问题等，本文将其应用于多边形逼近问题。

2. 基于ACO的多边形逼近方法

2.1 问题表述与图表示

给定一个由 $N$ 个顺时针有序点组成的数字曲线 $C = {c_1, c_2, …, c_N}$，定义弧 $\widehat{c_ic_j}$ 为 $c_i$ 和 $c_j$ 之间的点集，弦 $c_ic_j$ 为连接 $c_i$ 和 $c_j$ 的线段。用弧 $\widehat{c_i