32、信号分析方法与示例：雨流计数和傅里叶变换技术解析

信号分析方法与示例：雨流计数和傅里叶变换技术解析

1. 雨流计数与数据处理

在信号分析领域，二维集合表示法常被优先选用，因其比三维雨流矩阵更具描述性。从集合中能得出诸多结论和解释，如对测量数据进行合理性检查，以及比较多次测量结果。同时，还可识别不同运行条件及其对应力的影响，并评估其对使用寿命的作用。不过，在进行使用寿命估算时，应使用雨流矩阵，因其包含均值信息。

下面通过一个MATLAB代码应用示例来详细说明雨流计数过程。在车辆组件于恶劣路况行驶时，记录了Z方向的加速度。利用该信号进行雨流计数，具体步骤如下：
1. 调用MATLAB函数进行雨流计数 ：使用MATLAB的雨流计数函数（公式(14.43)）完成雨流计数操作。函数结果包含全矩阵和半矩阵。
2. 计算类频率 ：调用 rainflow 函数后，通过公式(14.44)从雨流矩阵形成类频率。由于类均值为0和振荡宽度为0的情况不会出现，雨流矩阵（ rm ）的结构为 rmr - 1 行× rmm - 1 列。使用 sum(rm,2) 将雨流矩阵求和得到类频率向量，每个振荡宽度大于0的类频率都有对应值。
3. 显示类频率 ：通过公式(14.45)进行显示，并交换 XTickLabels 以正确标记横坐标。但这种表示形式在疲劳强度分析中并不常见。
4. 计算累积频率 ：通常采用累积频率 Hi 来表示振荡宽度，其计算规则为 Hi = ∑(ξ = i to n) hξ （公式(14.46)），其中 i = 1...n 。在MATLAB代码中实现该公式（公式(14.47)），由于类频率不包含振荡宽度为0的值，循环需偏移一个类。
5. 显示累积频率 ：首先使用 MATALB 的 bar 函数以条形图形式显示值，然后进行所有标签设置，最后通过公式(14.48)交换横纵坐标，使图表以振荡宽度对累积频率的形式显示。

需要注意的是，当前MATLAB的 rainflow 函数（2017b版本引入）没有可用于影响类数量的配置参数，其计算算法基于特定规则，未对类数量进行定义。

2. 傅里叶变换：FFT与DFT的选择

信号可视为谐波振荡的叠加，在频域中以振幅和相位与频率的频谱形式表示。通过分析振幅和相位频谱，可获取振荡过程的重要信息：
- 振幅频谱评估 ：
- 确定激励频率（如驱动引起的）和激发的固有频率（如不平衡导致的）。
- 将测量频谱与极限频谱进行比较。
- 分析振动过程的潜在机制（状态监测、振动降低）。
- 相位频谱评估 ：
- 用于平衡技术。
- 是从频谱合成时间信号所必需的。

傅里叶变换（FT）的目的是将离散信号从时域转换到频域。离散傅里叶变换（DFT）源于将离散信号从时域转换到频域的目标，而快速傅里叶变换（FFT）是DFT的一种高效计算算法。最著名且广泛使用的FFT算法由James Cooley和John W. Tukey于1965年提出，其应用前提是离散信号值的数量为2的幂次方。虽然FFT计算所需的存储空间和计算能力远小于DFT，但在当今计算和存储能力充足的情况下，计算时间和存储空间消耗的考虑在实际应用中已不那么重要。不过，由于历史原因，FFT的使用更为广泛，几乎所有硬件和/或软件分析仪都采用FFT算法进行信号从时域到频域的转换。但这可能存在问题，因为所需的值数量必须为2的幂次方。更现代的做法是让执行分析器或程序决定是计算FFT还是DFT，这样在使用不适应2^n规则的数字化设备时，可获得“平滑”的频率分辨率，且两种计算方法的变换结果无差异。

3. 离散傅里叶变换基础

通常，时域中的测量信号是采样信号，即在离散插值点上取值。时间区间长度为T（块长度），包含N个样本和采样间隔t。计数索引k从0（左区间边界）到N - 1，时域中的对应值表示为x(k)。变换按块进行，从时域到频域的变换方程为：
[X(n) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} x(k) e^{-j2\pi kn / N}]（公式(14.49)）

计数索引n在频域表示中从0到N - 1。变换到频域后，可得到N个离散频率值（谱线），形成具有复数值X(n)的离散频谱。频谱中两条谱线之间的间距为Δf，将频率分配给计数索引。当n = 0代入公式(14.49)时，第0条频率线为实数，包含信号的算术平均值x：
[X(0) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} x(k)]（公式(14.50)）

逆变换规则为：
[x(k) = \sum_{n = 0}^{N - 1} X(n) e^{j2\pi kn / N}]（公式(14.51)）

除了上述表述，还有许多等效表示法。为便于数学实现，通常将时域扩展到负时间值，频域扩展到负频率，形成双边频谱。在信号处理中常使用双边频谱，而在振动工程及其应用中，更倾向于使用仅绘制正频率的单边频谱。

以一个周期采样的方波信号（N = 30）为例，当时间零点t = 0位于k = 0时，信号在时域关于纵坐标对称。通过引入双边频谱，计算得以简化，且在该示例中可得到纯实数频谱，仅由余弦项组成，正弦项（包含虚部）因巧妙选择时间计数零点而被省略。

在测量实践中，DFT的应用有以下几点影响：
- 线谱 ：DFT得到离散线谱，频谱仅在支撑点（谱线）n处有定义，频率分辨率为Δf = 1/T。实际频谱表示常采用实线，对网格点进行插值。
- 时域周期性 ：N个样本作为块长度T区间的一部分进行周期性延续。为使频谱包含测量信号其他部分的信息，要么选择足够长的块长度，要么对多个时间段进行平均。同时，块长度区间边界处不得出现不连续性（拐点和跳跃），通常使用窗函数减少误差。
- 频域周期性 ：DFT的频谱也是周期性的，当n/N为整数时出现周期性，频谱以N条谱线为周期重复。双边频谱中，谱线可向左和向右延续，满足X(-n) = X(N - n)。
- 频域对称性 ：DFT的起始点是N个实数值x(k)，为将其信息包含在N个复数值X(n)中，仅需一半的谱线N/2，即0到N/2 - 1条谱线。从N/2到N - 1条谱线包含共轭复数值X (n)，无额外信息，可通过频谱关于纵坐标镜像得到。这解释了为什么单边频谱中1024条谱线的频率分析最多代表512条谱线（因抗混叠滤波器斜率有限，常为400条）。
- 带宽限制和抗混叠 ：由于使用N/2条谱线，可显示的最大频率fmax必须小于采样频率fs/2的一半，计算公式为fmax = (N/2)Δf（公式(14.52)）。频域表示是带宽受限的，信号在时域也需进行带宽限制。同时，采样频率必须大于2倍fmax，带宽限制通过低通滤波器（抗混叠滤波器）实现。若采样条件不满足，频谱中会出现额外谱线（镜像或混叠频率），且无法通过后续滤波去除，因此在DFT前需用低通滤波器滤除高于奈奎斯特频率的所有频率。
- 复数大小 *：DFT生成离散的复数频谱X(n)，可清晰分为振幅分量|X(n)|（振幅或幅度频谱）和相位分量ς(n)（相位频谱），也可分解为实部和虚部。以余弦函数x(t) = cos(2πft)为例，双边振幅频谱有8条频率线，第0条线包含直流分量，n = 1和n = 7时的值为0.5。转换到单边频谱时，由于对称性，两条谱线重合，振幅相加，n = 1时|X(1)| = 1，为余弦函数的振幅。相位频谱ς(n)对所有n值为0。正弦函数x(t) = sin(2πft)的振幅频谱与余弦函数相同，但在DFT中指向虚轴方向，相位频谱有-π/2的相位角。

4. 信息内容与频谱分析

时域和频域只是表示相同数据的不同方式，从时域到频域的变换不会导致信息丢失，是信息保留变换。因此，可通过逆变换（所谓的重新合成）从振幅和相位频谱再次生成时间特性。以两个叠加的余弦振荡为例：
[x1(t) = 0.75 \cos(2\pi ft) + 0.25 \cos(2\pi 3ft)]
[x2(t) = 0.75 \cos(2\pi ft) + 0.25 \cos(2\pi 3ft + \frac{3}{4}\pi)]

这两个函数仅在第二个求和项的相移角上有差异。采样N = 8点，块长度为一个周期T = 1/f时，两个函数的时间响应明显不同，但振幅频谱相同，振幅分别为0.75（频率f）和0.25（频率3f）。差异在于相位频谱，n = 3时，x1(t)的相位角为0，x2(t)的相位角为3/4π。因此，仅靠振幅频谱无法清晰重建时间过程，还需要相位频谱（或事先对相位角进行假设）。

频谱只能表示时域中已包含的信息，频谱表示本身不会增加信息，但能提供更直观的展示方式，便于分析和理解信号的特性。

综上所述，雨流计数和傅里叶变换是信号分析中重要的工具，通过合理运用这些方法和技术，可深入了解信号的特征和性质，为工程应用和研究提供有力支持。

以下是相关内容的流程图：

graph LR
    A[开始雨流计数] --> B[调用rainflow函数]
    B --> C[计算类频率]
    C --> D[显示类频率]
    D --> E[计算累积频率]
    E --> F[显示累积频率]
    G[开始傅里叶变换] --> H[选择FFT或DFT]
    H --> I[进行离散傅里叶变换]
    I --> J[分析频谱特性]
    J --> K[评估振幅和相位频谱]
    K --> L[根据频谱信息进行决策]

表格总结：
| 分析方法 | 特点 | 应用场景 | 注意事项 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 雨流计数 | 用于处理时域信号，得到类频率和累积频率 | 疲劳强度分析、使用寿命估算 | MATLAB函数无配置类数量的参数 |
| 傅里叶变换（DFT/FFT） | 将时域信号转换到频域，得到频谱信息 | 分析信号的频率成分、振动机制等 | 注意采样条件、带宽限制和抗混叠 |

信号分析方法与示例：雨流计数和傅里叶变换技术解析

5. 雨流计数与傅里叶变换的对比与联系

雨流计数和傅里叶变换是信号分析中两种不同但又相互补充的方法。下面从多个方面对它们进行对比和联系分析：
| 分析方法 | 分析域 | 主要作用 | 输出结果 | 应用场景 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 雨流计数 | 时域 | 处理时域信号，统计信号中不同幅值和均值的循环次数 | 类频率、累积频率 | 疲劳强度分析、使用寿命估算 |
| 傅里叶变换（DFT/FFT） | 频域 | 将时域信号转换到频域，分析信号的频率成分 | 振幅频谱、相位频谱 | 分析信号的频率成分、振动机制、状态监测等 |

从应用场景来看，雨流计数侧重于疲劳相关的分析，关注信号中不同应力循环对材料疲劳的影响，从而估算部件的使用寿命。而傅里叶变换更侧重于分析信号的频率特性，能够识别信号中包含的不同频率成分，对于振动监测、故障诊断等领域有重要应用。

在某些情况下，这两种方法可以结合使用。例如，在对机械部件进行全面的状态监测时，先使用傅里叶变换分析信号的频率成分，确定是否存在异常的振动频率，判断可能存在的故障类型。然后使用雨流计数对相关的时域信号进行处理，评估该振动对部件疲劳寿命的影响，为维护决策提供更全面的依据。

6. 实际应用案例分析

为了更好地理解雨流计数和傅里叶变换在实际中的应用，下面通过一个具体的案例进行说明。

假设我们要对一辆汽车在行驶过程中的振动信号进行分析，以评估汽车悬挂系统的性能和疲劳寿命。

6.1 数据采集

在汽车行驶过程中，使用加速度传感器采集悬挂系统在Z方向的加速度信号，记录一段时间内的时域信号数据。

6.2 雨流计数分析

• 雨流计数操作 ：将采集到的加速度信号输入到MATLAB中，调用 rainflow 函数进行雨流计数。

% 假设acceleration_data为采集到的加速度信号
rm = rainflow(acceleration_data);

• 计算类频率和累积频率 ：根据雨流矩阵计算类频率和累积频率。

% 计算类频率
class_frequencies = sum(rm, 2);
% 计算累积频率
cumulative_frequencies = cumsum(class_frequencies);

• 结果分析 ：通过分析累积频率和振动幅值的关系，评估悬挂系统在不同振动幅值下的疲劳损伤情况。如果在某些特定幅值下累积频率较高，说明该幅值的振动对悬挂系统的疲劳影响较大，可能需要对悬挂系统进行调整或更换部件。

6.3 傅里叶变换分析

• 选择FFT进行变换 ：由于FFT计算效率高，选择使用FFT对加速度信号进行频域变换。

% 进行FFT变换
N = length(acceleration_data);
frequencies = (0:N-1)*(1/sampling_frequency); % 计算频率轴
spectrum = fft(acceleration_data);
amplitude_spectrum = abs(spectrum);

• 频谱分析 ：分析振幅频谱，确定信号中包含的主要频率成分。如果发现存在异常的高频成分，可能表示悬挂系统存在松动、磨损等故障。同时，分析相位频谱，判断振动的相位关系，进一步了解振动的特性。

graph LR
    A[数据采集] --> B[雨流计数分析]
    A --> C[傅里叶变换分析]
    B --> D[评估疲劳损伤]
    C --> E[识别故障类型]
    D --> F[决策是否调整悬挂系统]
    E --> F

7. 总结与展望

通过以上对雨流计数和傅里叶变换的详细介绍和实际案例分析，我们可以看到这两种方法在信号分析中具有重要的作用。雨流计数能够有效地处理时域信号，为疲劳强度分析和使用寿命估算提供关键信息；傅里叶变换则能够将时域信号转换到频域，帮助我们深入了解信号的频率特性，进行故障诊断和状态监测。

在未来的信号分析领域，随着传感器技术的不断发展，采集到的信号数据将更加复杂和多样化。这就需要我们进一步优化雨流计数和傅里叶变换的算法，提高分析的准确性和效率。同时，结合机器学习和人工智能技术，对信号进行更深入的挖掘和分析，实现更智能的故障诊断和预测维护。例如，可以使用深度学习算法对频谱数据进行分类和识别，自动判断故障类型和严重程度，为设备的维护和管理提供更科学的决策依据。

总之，雨流计数和傅里叶变换作为信号分析的基础方法，将在未来的工程应用和研究中继续发挥重要作用，我们需要不断探索和创新，使其更好地服务于各个领域。