24、量子信息理论中的相对熵、距离与保真度

量子信息理论中的相对熵、距离与保真度

1. 量子态分解与熵相关理论

在量子信息理论中，存在这样的条件：若 $\sigma_1, \sigma_2 \in Z_j$，则 $|\sigma_1 - \sigma_2| \leq \delta$，对于所有的 $Z_j \in Z$ 都成立。例如，集合 $J$ 的基数（cardinality）可以选择不大于覆盖集合 $S(M)$ 所需的半径为 $\delta$ 的球的最小数量。

我们定义如下：
$\rho’ j := \frac{\sum {i \in I, \rho_i \circ \gamma \in Z_j} \lambda_i}{\lambda’ j} \rho_i$，其中 $\lambda’_j := \sum {i \in I, \rho_i \circ \gamma \in Z_j} \lambda_i$。
通过构造，有 $\rho = \sum_{j \in J} \lambda’ j \rho’_j$，并且
$\left|H {\gamma}^{\rho} \left{ \lambda_i, \rho_i \right} {i \in I} - H {\gamma}^{\rho} \left{ \lambda’ j, \rho’_j \right} {j \in J} \right| \leq \left| \sum_{i \in I} \lambda_i S(\rho_i \circ \gamma) - \sum_{j \in J} \lambda’ j S(\rho’_j) \right|