26、量子相对熵与熵不等式解析

量子相对熵与熵不等式解析

1. 基础概念与定义

• 维度边界练习
  • 对于 $\rho_{ABC} \in D(H_A \otimes H_B \otimes H_C)$，有维度边界 $I(A; B|C)_{\rho} \leq 2 \log [\min {\dim(H_A), \dim(H_B)}]$。
  • 对于 $\sigma_{XBC} \in D(H_X \otimes H_B \otimes H_C)$ 这种形式为 $\sum_{x} p_X(x)|x\rangle\langle x| X \otimes \sigma {x_{BC}}$ 的经典 - 量子 - 量子态，有 $I(X; B|C)_{\sigma} \leq \log \dim(H_X)$。
  • 对于 $\rho_{AB} \in D(H_A \otimes H_B)$，满足 Araki–Lieb 三角不等式 $|H(A) {\rho} - H(B) {\rho}| \leq H(AB)_{\rho}$。
• 量子相对熵定义
  • 核与支撑 ：算子 $A \in L(H, H’)$ 的核定义为 $\ker(A) \equiv {|\psi\rangle \in H : A|\psi\rangle = 0}$，支撑是与核正交的子空间 $\text{supp}(A) \equiv {|\psi\rangle \in H : A|\psi\