15、图论与机器学习中的模式匹配和特征选择

最新推荐文章于 2025-10-05 16:58:11 发布

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分类专栏：归纳逻辑编程前沿探秘文章标签：图收缩模式匹配树分解互信息

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图论与机器学习中的模式匹配和特征选择

1. 图收缩模式匹配问题

在图论领域，图收缩模式匹配是一个重要的研究方向。图收缩模式是一个三元组 (h = (V, E, U))，其中 ((V, E)) 是一个连通图，(U) 是 (V) 的一个特殊子集。图收缩模式匹配问题是指，给定一个图收缩模式 (h = (V, E, U)) 和一个图 (G)，能否通过边收缩将 (G) 转换为 ((V, E))，使得对于任意 (v \in V\setminus U)，(G) 中只有一个顶点可以映射到 (v)。

在实际应用中，大量具有图结构的数据被存储在数据库中，如地图数据、CAD 数据、生物分子数据、化学分子数据和万维网数据等。许多化学化合物可以用外平面图表示，也有学者提出了针对外平面图的频繁子图挖掘算法。为了在更广泛的图类上进行图挖掘，有研究提出了针对有界树宽图的频繁子图挖掘算法。

当满足以下三个条件时，图收缩模式匹配问题可以在多项式时间内解决：
1. ((V, E)) 具有有界树宽；
2. (U) 是 ((V, E)) 的独立集；
3. (U) 中的所有顶点具有有界度。

2. 预备知识

2.1 归一化树分解

在图论中，图的树分解是一个重要的概念。对于一个图 (G)，用 (V(G)) 和 (E(G)) 分别表示其顶点集和边集，用 (N(\upsilon)) 表示顶点 (\upsilon) 的邻接顶点集。对于 (U_1, U_2 \subseteq V(G))，如果存在边 ({\upsilon, \omega}) 使得 (\upsilon \in U_1) 且 (\omega \in U_2)，则称 (U_1) 和 (U_2) 相邻。对于 (U \subseteq V(G))，用 (G[U]) 表示由 (U) 诱导的 (G) 的子图。

图 (G) 的树分解是一个二元组 ((T, \chi))，其中 (T) 是一棵树，(\chi = {\chi(\alpha) | \chi(\alpha) \subseteq V(G)) 对于所有 (\alpha \in V(T)}) 满足以下三个条件：
1. (\bigcup_{\alpha \in V(T)} \chi(\alpha) = V(G))；
2. 对于每条边 ({u, v} \in E(G))，存在 (\alpha \in V(T)) 使得 (u, v \in \chi(\alpha))；
3. 对于任意 (\alpha, \beta, \gamma \in V(T))，如果 (\beta) 在从 (\alpha) 到 (\gamma) 的路径上，则 (\chi(\alpha) \cap \chi(\gamma) \subseteq \chi(\beta))。

树分解 ((T, \chi)) 的宽度定义为 (\max_{\alpha \in V(T)} |\chi(\alpha)| - 1)，图 (G) 的树宽是所有可能的树分解中的最小宽度。如果树分解的宽度等于图的树宽，则称该树分解是最优的。

归一化树分解需要满足三个条件：
1. 是最优的；
2. 是平滑的；
3. (T) 是有根树且具有子树连通特性。可以通过多项式时间算法从任何树分解构造归一化树分解。

条件	描述
最优性	树分解的宽度等于图的树宽
平滑性	满足特定的平滑条件
子树连通特性	对于 (E(T)) 中的任意边 ({\alpha, \beta})，(\beta) 是 (\alpha) 的子节点，且 (G[\chi(T_{\downarrow}\beta)\setminus\chi(\alpha)]) 是连通的

2.2 图收缩模式

设 (G) 和 (H) 是连通图，(H) - 见证结构是 (V(G)) 的一个划分，满足一定条件。当 (G) 具有 (H) - 见证结构时，可以通过边收缩将 (G) 转换为 (H)。

图收缩模式 (h)（简称 GC - 模式）是一个三元组 (h = (V, E, U))，其中 ((V, E)) 是连通图，(U) 是 (V) 的子集。如果 (G) 具有 ((V(h), E(h))) - 见证结构，且对于任意 (v \in V(h)\setminus U)，(|W(v)| = 1)，则称 GC - 模式 (h) 与图 (G) 匹配。我们称 (U) 中的元素为可收缩顶点，(V(h)\setminus U) 中的元素为不可收缩顶点。

2.3 主要结果

图收缩模式匹配问题的主要结果如下：
- 当 (h) 满足上述三个条件时，图收缩模式匹配问题可以在多项式时间内解决。
- 如果 (U) 中顶点的度没有固定常数限制，则图收缩模式匹配问题是 NP 完全的。

以下是不同条件下问题复杂度的总结：
|条件 1（有界树宽）|条件 2（(U) 是独立集）|条件 3（(U) 中顶点有界度）|复杂度|
|----|----|----|----|
|T|T|T|多项式时间可解|
|F| | |可能难处理|
| |F| |可能难处理|
| | |F|NP 完全|

3. 图收缩模式匹配算法

假设给定的 GC - 模式 (h) 满足上述三个条件，设 ((T, \chi)) 是 ((V(h), E(h))) 的归一化树分解。

在算法中，我们从部分见证结构的并集构造整个见证结构。首先定义了两个 GC - 子模式的见证结构不冲突的条件：
1. 对于任意 (u \in V(h_1) \cap V(h_2))，(W_1(u) = W_2(u))；
2. 对于任意 (u \in V(h_1)) 和 (v \in V(h_2))，({u, v} \in E(h)) 当且仅当 (W_1(u)) 和 (W_2(v)) 相邻。

然后，通过注入构造部分见证结构。对于一个节点 (\alpha \in T)，定义了节点映射和相关的集合 (D_{\alpha, \psi}) 和 (ISO(\alpha))。

算法的核心步骤如下：
1. 对于节点 (\alpha)，定义 (dom(\alpha)) 为顶点集 (\chi(\alpha) \cup {N(\upsilon) | \upsilon \in \chi(\alpha) \cap U})。
2. 对于节点映射 (\psi : dom(\alpha) \to V(G))，判断其是否为节点 (\alpha) 的节点映射。
3. 定义二分图 (Q(\alpha, \psi))，通过判断二分图是否有完美匹配来确定 (\psi) 是否属于 (ISO(\alpha))。

算法的时间复杂度为 (O(N^{k(d + 1) + 1.5}))，其中 (N) 是图 (G) 的顶点数，(d) 是 (U) 中顶点的最大度。

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化];
    B --> C[遍历节点];
    C --> D[定义dom和节点映射];
    D --> E[判断节点映射是否合适];
    E --> F[构造二分图];
    F --> G[判断二分图是否有完美匹配];
    G --> H[更新ISO集合];
    H --> I{是否遍历完所有节点};
    I -- 否 --> C;
    I -- 是 --> J[判断ISO根节点是否非空];
    J -- 是 --> K[匹配成功];
    J -- 否 --> L[匹配失败];
    K --> M[结束];
    L --> M;

4. mLynx 系统：关系互信息

在机器学习领域，将信息理论工具与关系学习相结合是一个有前景的研究方向。mLynx 系统利用互信息来寻找相关的关系特征。

4.1 引言

信息理论为相关信息问题提供了自然的定量方法，互信息（MI）是一个抽象且有原则的概念。信息瓶颈（IB）方法考虑了学习过程中数据表示复杂度和准确性之间的权衡。

在统计关系学习（SRL）中，许多归纳逻辑编程（ILP）学习方法通过搜索好的关系特征来构建模型，通常由评分函数引导。一些 SRL 系统将特征构造过程与判别/生成概率方法相结合，以处理噪声数据和不确定性。

mLynx 系统在特征构造阶段后，通过互信息准则随机搜索最相关的特征集，以最小化贝叶斯分类器的概率误差。

4.2 特征构造和分类

mLynx 系统的第一步是进行特征构造，通过挖掘频繁 Prolog 查询（关系特征）来实现。算法基于通用的逐层搜索方法，从最一般的 Prolog 查询开始，逐步特化候选频繁查询，丢弃非频繁查询，并存储长度小于或等于用户指定参数的查询。同时，使用 (\theta)OI - 包含关系检测并丢弃语义等价的模式。

在获得关系特征后，需要使用这些特征对未见过的示例进行分类。给定训练数据集 (\mathcal{D}) 包含 (n) 个关系示例，由一组 (m) 个关系特征 (X) 和目标离散随机变量 (c) 表征，目标是找到 (X) 的一个子集，以最优地表征变量 (c)，最小化分类器的概率误差。

对于每个示例 (x_k)，可以构建一个 (d) 分量向量值随机变量，其中每个分量根据查询是否包含示例 (x_k) 取值为 1 或 0。使用贝叶斯定理计算后验概率 (p(c_j|x))，并使用判别函数进行分类。

判别函数的计算步骤如下：
1. 定义 (p_{ij} = Prob(x_i = 1|c_j))，假设 (x) 的分量统计独立。
2. 计算 (p_{ij}) 的估计值 (\hat{p}_{ij})，通过训练示例的频率计数得到。
3. 假设条件独立性，得到判别函数 (g_i(x) = \ln p(x|c_i) + \ln p(c_i))。

通过这些步骤，mLynx 系统可以利用挖掘到的关系特征对未见过的示例进行分类，并且通过互信息准则选择最相关的特征，提高分类的准确性。

图论与机器学习中的模式匹配和特征选择

5. 特征选择与互信息准则

在 mLynx 系统中，特征选择是一个关键步骤，其目标是找到最能表征目标类别的特征子集，以最小化分类器的概率误差。互信息准则在这个过程中起到了重要的作用。

互信息衡量了两个随机变量之间的依赖程度。在 mLynx 系统中，我们希望找到与目标离散随机变量 (c) 具有最大互信息的特征子集。具体来说，给定训练数据集 (\mathcal{D}) 包含 (n) 个关系示例，由一组 (m) 个关系特征 (X) 和目标离散随机变量 (c) 表征，我们的目标是找到 (X) 的一个子集 (S)，使得 (I(c; S)) 最大，其中 (I(c; S)) 表示 (c) 和 (S) 之间的互信息。

互信息的计算公式为：
[I(c; S) = \sum_{c \in \mathcal{C}} \sum_{s \in \mathcal{S}} p(c, s) \log \frac{p(c, s)}{p(c) p(s)}]
其中，(\mathcal{C}) 是 (c) 的取值集合，(\mathcal{S}) 是 (S) 的取值集合，(p(c, s)) 是 (c) 和 (s) 的联合概率分布，(p(c)) 和 (p(s)) 分别是 (c) 和 (s) 的边缘概率分布。

mLynx 系统通过随机搜索的方式，在特征空间中寻找具有最大互信息的特征子集。具体步骤如下：
1. 初始化一个空的特征子集 (S)。
2. 随机选择一个未被选中的特征 (x)。
3. 计算加入 (x) 后特征子集 (S \cup {x}) 与目标变量 (c) 之间的互信息 (I(c; S \cup {x}))。
4. 如果 (I(c; S \cup {x}) > I(c; S))，则将 (x) 加入到 (S) 中。
5. 重复步骤 2 - 4，直到满足停止条件（例如，达到最大特征数量或互信息不再增加）。

步骤	操作
1	初始化特征子集 (S = \varnothing)
2	随机选择未选中特征 (x)
3	计算 (I(c; S \cup {x}))
4	若 (I(c; S \cup {x}) > I(c; S))，则 (S = S \cup {x})
5	判断是否满足停止条件，不满足则回到步骤 2

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化特征子集S为空];
    B --> C[随机选择未选中特征x];
    C --> D[计算I(c; S ∪ {x})];
    D --> E{I(c; S ∪ {x}) > I(c; S)?};
    E -- 是 --> F[将x加入S];
    E -- 否 --> G[不加入x];
    F --> H{是否满足停止条件};
    G --> H;
    H -- 否 --> C;
    H -- 是 --> I[结束];