凸集与算子性质的数学分析

1、若H的子集C满足(∀x ∈C)(∀y ∈C) (x + y)/2 ∈C，则称C是中点凸的。(i)假设H = R，设C为有理数集。证明C是中点凸的，但不是凸集。(ii)假设C是闭集且是中点凸的。证明C是凸集。

(i) 对于有理数集，任意两个有理数相加除以 2 仍是有理数，满足中点凸定义；但对于两个有理数之间的无理数，无法用有理数的凸组合表示，所以不是凸集。

(ii) 要证明闭且中点凸的集合 $ C $ 是凸集，可利用中点凸性质结合集合的闭性，通过极限的方法证明任意两点间的凸组合都在集合 $ C $ 中。

2、在无限维空间 H 中，找出 H 的两个非空闭凸子集 C 和 D，使得 C ∩ D = ∅，且 C 和 D 不是强分离的。并与如下推论进行比较：若 C 和 D 是非空闭凸子集，C ∩ D = ∅ 且 D 有界，则 C 和 D 是强分离的。

当 $ H $ 是无限维时，设 $ C $ 和 $ D $ 如例 3.34 所示，取
$$
z \in C + D \setminus (C + D)
$$
定义两个闭仿射子空间
$$
U = C + (C + D)^\perp \quad \text{和} \quad V = z + D
$$
此时 $ U \cap V = \emptyset $，且 $ U - V $ 在 $ H $ 中稠密。不存在非零的 $ u $ 使 $ U $ 和 $ V $ 分离，即 $ U $ 和 $ V $ 是满足条件的 $ C $ 和 $ D $。

推论指出 ：若 $ C $ 和 $ D $ 是非空闭凸子集，$ C \cap D = \emptyset $ 且 $ D $ 有界，则 $ C $ 和 $ D $ 是强分离的。

而这里找到的例子不满足强分离，是因为该例子中没有保证 $ D $ 有界。

3、设 D 是 H 的非空子集，(Ti)1≤i≤m 是从 D 到 D 的有限个拟非扩张算子族，使得 ∩m i = 1 Fix Ti 非空，且其中 m - 1 个算子是严格拟非扩