泛函分析经典问题与证明合集

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于 2025-09-14 13:51:33 发布 · 652 阅读

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#泛函分析 # 巴拿赫空间 # 对偶空间

1、设 X 是赋范空间。证明 X 的对偶空间 X∗是巴拿赫空间。

当 $ X^ $ 配备算子范数
$$
|x^ | = \sup{ |x^ (x)| : x \in B_X }
$$
（其中 $ B_X $ 是 $ X $ 的闭单位球）时，要证明空间 $ X^ $ 是巴拿赫空间。

证明过程如下：

假设 $ (T_n)_{n=1}^\infty $ 是 $ L(X, Y) $ 中的柯西序列。

对于每个 $ x \in X $，序列 $ (T_n x) {n=1}^\infty $ 是 $ Y $ 中的柯西序列，因为对于所有 $ m, n \in \mathbb{N} $，有
$$
|T_n x - T_m x| \leq |T_n - T_m| \cdot |x|
$$
所以
$$
\lim {n \to \infty} T_n x
$$
对于每个 $ x \in X $ 都存在，记这个极限为 $ T x $。

可证明 $ T $ 是线性且有界的，即 $ T \in L(X, Y) $。

$ T $ 的线性由向量空间运算的连续性得出；
通过
$$
\left| |T_m| - |T_n| \right| \leq |T_m - T_n|
$$
及 $ (T_n) {n=1}^\infty $ 是柯西序列，可知
$$
(|T_n|) {n=1}^\infty
$$
是标量的柯西序列，进而
$$
\sup_{n \in \mathbb{N}} |T_n| < \infty
$$
所以 $ T $ 有界且
$$
|T| \leq \sup_{n \in \mathbb{N}} |T_n|
$$

最后证明在 $ L(X, Y) $ 的范数下
$$
T = \lim_{n \to \infty} T_n
$$

综上，$ X^* $ 是巴拿赫空间。

2、设 K 是一个紧致拓扑空间，并且假设 φ : K → E 是一个连续的单射，其中 E 是一个豪斯多夫拓扑空间。证明 φ 是到其像 φ(K) 上的同胚。

要证明 φ 是到其像 φ(K) 上的同胚，需证明：

φ 是双射
φ 是连续的
φ 的逆映射也连续

证明过程：

已知 φ 是连续的单射；
且 φ 是从 K 到 φ(K) 的满射；
⇒ 所以 φ 是双射。

证明逆映射连续：

只需证明 φ 是闭映射（因为 连续的闭双射是同胚 ）。

设 F 是 K 中的闭集：

由于 K 是紧致空间，闭子集 F 是紧致的；
又因为 φ 连续，紧致集 F 在连续映射 φ 下的像 φ(F) 是紧致的；
而 E 是豪斯多夫空间，紧致子集 φ(F) 是闭的。

⇒ 所以 φ 是闭映射。

结论：

因此，φ 是到其像 φ(K) 上的同胚。

3、假设X是一个紧致豪斯多夫空间。证明C(X)能分离X中的点。也就是说，如果a和b是X中不同的点，证明存在一个函数f ∈ C(X)，使得f(a) = 0且f(b) = 1。

首先，因为 $ X $ 是紧致豪斯多夫空间，所以 $ X $ 是正规空间。
即对于 $ X $ 中任意两个不相交的闭子集 $ E $ 和 $ F $，存在不相交的开集 $ U $ 和 $ V $，使得 $ E \subseteq U $ 且 $ F \subseteq V $。
然后，对于不同的点 $ a $ 和 $ b $，点 $ a $ 和 $ b $ 是不同的点，那么 $ {a} $ 和 $ {b} $ 是 $ X $ 中不相交的闭子集（在豪斯多夫空间中，单点集是闭集）。
接着，应用乌里松引理，由于 $ X $ 是正规空间，根据乌里松引理，对于不相交的闭子集 $ {a} $ 和 $ {b} $，存在连续函数 $ f: X \to [0,1] $，使得 $ f| { {a}} = 0 $ 且 $ f| { {b}} = 1 $。
即 $ f(a) = 0 $ 且 $ f(b) = 1 $，并且 $ f \in C(X) $（因为 $ f $ 是从 $ X $ 到 $ [0,1] $ 的连续函数）。

所以，$ C(X) $ 能分离 $ X $ 中的点。

4、设 E 是局部凸拓扑向量空间，假设 K 是 E 的闭线性子空间。若 x0 不属于 K，证明存在连续线性泛函 f 属于 E*，使得 f(x0) = 1，且对于所有 x 属于 K 有 f(x) = 0。

存在连续线性泛函 $ f $ 使得 $ f(K) = 0 $ 且 $ f(x_0) > 0 $，设 $ f(x_0) = a > 0 $，令
$$
g = \frac{1}{a}f
$$
则 $ g $ 是连续线性泛函，且
$$
g(x_0) = 1,\quad g(x) = 0 \quad \text{对所有 } x \in K \text{ 成立。}
$$