43、利用傅里叶级数分析声波

利用傅里叶级数分析声波

1. 分解声波为傅里叶级数

声音本质上是随时间变化的压力波，传播到我们的耳朵中被感知为声音。在数字音频系统里，声音通常以采样的形式存在，例如CD音频每秒会采用44,100个采样值。

周期性的声音波形能够产生明确的音符，而随机形状的波形听起来则像噪音。正弦和余弦函数是典型的周期函数，它们的图像呈现出平滑的曲线，被称为正弦曲线。正弦和余弦函数的周期是$2\pi$，频率是周期的倒数，即$1/(2\pi)$。形如$\sin(2n\pi t)$或$\cos(2n\pi t)$的函数频率为$n$，高频的声音波函数会产生高音调的音符。

我们的目标是将任意周期函数（如方波）表示为正弦函数的线性组合，也就是把任何声波分解为纯音符的组合。这类似于将向量表示为基向量的线性组合。在函数的向量空间中，我们可以把方波等函数看作感兴趣的向量，而$\sin(2\pi t)$、$\sin(4\pi t)$、$\sin(6\pi t)$等函数则构成了基。

例如，方波在$\sin(2\pi t)$方向上的分量长度为$4/\pi$，在$\sin(6\pi t)$方向上的分量长度为$4/(3\pi)$。我们可以编写一个 fourier_coefficients(f, N) 函数来计算周期为1的函数$f$的傅里叶系数，该函数会返回常数项系数$a_0$，以及一系列的余弦系数$a_n$和正弦系数$b_n$。

def fourier_coefficients(f,N):
    a0 = inner_product(f,const) 
    an = [inner_prod