傅立叶变换与拉普拉斯变换

aichitang2024

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分类专栏：算法，数学知识点讲解文章标签：傅立叶分析

于 2025-02-03 20:25:52 首次发布

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傅立叶变换与拉普拉斯变换

傅立叶变换（Fourier Transform）与拉普拉斯变换（Laplace Transform）在现代科学与工程领域的地位不言而喻，它们几乎渗透到信号与系统、控制工程、物理、数学等各个学科中。它们的核心思想都是通过特定的积分变换，将时间或空间域的信息转到频域或复平面上，从而简化分析与计算。下面，将对这两种变换做更加详细的介绍与对比。

一、傅立叶变换

1. 傅立叶理论的由来

傅立叶分析最初源于对“热传导问题”的研究，数学家傅立叶（Joseph Fourier）提出可以用无穷级数形式的正弦和余弦函数来表示任意的周期性函数，这就是著名的“傅立叶级数”。在此基础上，人们进一步推广到非周期信号的频谱分析，由此诞生了傅立叶变换。

2. 傅立叶变换的定义与分类

(1) 连续时间傅立叶变换（CTFT）

对一个实函数 ( f(t) )，其傅立叶变换定义为：

[
\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega)
= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t), e^{-j\omega t}, dt.
]

这是最常见的形式，将时间域变换到频率域（(\omega)为角频率）。

(2) 离散时间傅立叶变换（DTFT）

对于离散信号 ( x[n] )，则有离散时间傅立叶变换：

[
X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n], e^{-j\omega n}.
]

该变换得到的是离散信号对应的频谱，仍是连续的频率域。

(3) 傅立叶级数（Fourier Series）

如果信号是周期性的，可以用傅立叶级数来表示。傅立叶级数实际上是偏傅立叶变换的一种形式，用于分析周期信号的频谱分量。

3. 傅立叶变换的主要性质

线性性
[
\mathcal{F}{a,f(t) + b,g(t)} = a,F(\omega) + b,G(\omega).
]
时间移位
若 (\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega))，
[
\mathcal{F}{f(t - t_0)} = e^{-j \omega t_0},F(\omega).
]
调制性质
[
\mathcal{F}{f(t),e^{j\omega_0 t}} = F(\omega - \omega_0).
]
卷积定理
[
\mathcal{F}{f(t) * g(t)} = F(\omega),G(\omega),
]
其中 (\ast) 表示卷积运算。
Parseval定理
[
\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt
= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^2 d\omega.
]
说明了时域能量与频域能量的关系。

4. 傅立叶变换的适用条件

要让傅立叶变换存在，基本要求是函数满足一定的绝对可积性（或平方可积性）。例如，对于绝对可积条件，函数需满足：

[
\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|, dt < \infty.
]

在工程应用中，一些并不严格满足绝对可积的函数也能通过“广义函数”或“分布”的概念（如冲激函数）来处理。

5. 傅立叶变换的应用

信号分析与处理：频谱分析、滤波器设计、系统特性研究等。
图像处理：图像频域增强、滤波、压缩。
振动与声学：机械振动、声波传播等的频率特征分析。
微分方程求解：利用傅立叶变换将微分方程转换为代数方程，提高求解效率。

二、拉普拉斯变换

1. 拉普拉斯变换的由来与基本概念

拉普拉斯变换主要用来分析因果（从零开始）系统的瞬态过程。相较于傅立叶变换仅在纯虚轴上做分析，拉普拉斯变换将分析范围扩展到整个复平面。其定义为：

[
\mathcal{L}{f(t)} = F(s)
= \int_{0}^{+\infty} f(t), e^{-st}, dt,
]
其中 ( s = \sigma + j\omega )，(\sigma)和(\omega)分别为实部和虚部。

拉普拉斯变换在求解微分方程、分析线性时不变系统以及理解系统的稳定性、瞬态和稳态响应方面有着独特的优势。

2. 拉普拉斯变换的常用性质

线性性
[
\mathcal{L}{a,f(t) + b,g(t)}
= a,F(s) + b,G(s).
]
时间移位与单位阶跃函数
[
\mathcal{L}{f(t - t_0),u(t - t_0)}
= e^{-st_0},F(s).
]
其中 ( u(t) ) 为单位阶跃函数。
微分与积分
[
\mathcal{L}{f’(t)} = sF(s) - f(0^-),
]
[
\mathcal{L}{f’‘(t)} = s^2 F(s) - s,f(0^-) - f’(0^-),
]
这能将微分运算转化为代数运算。
卷积定理
[
\mathcal{L}{f(t)*g(t)} = F(s),G(s),
]
与傅立叶变换类似，但积分上下限为[0,+\infty]。
初值定理与终值定理
- 初值定理：(\lim\limits_{t \to 0^+} f(t) = \lim\limits_{s \to +\infty} sF(s))。
- 终值定理：(\lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = \lim\limits_{s \to 0^+} sF(s))（在系统稳定并且极点在左半平面的前提下成立）。

3. 收敛域与极点分析

拉普拉斯变换不仅要考虑积分本身的存在性，还需要考虑变换的复平面收敛域（ROC, Region of Convergence）。对于很多实际系统而言，人们关注的是系统的极点是否在左半平面，如果所有极点都位于左半平面，该系统就具有因果性且稳定。借助极点分布，工程师可以很方便地判断系统的稳定与响应特性。

4. 拉普拉斯反变换与部分分式展开

求拉普拉斯反变换最常用的方法之一就是“部分分式展开”，也称部分分解或拉普拉斯逆变换表。只要能将 ( F(s) ) 分解成已知标准形式的子式，就可以查表或根据已知定理得到 ( f(t) )。

5. 拉普拉斯变换的应用

微分方程与积分方程求解：将微分方程化为代数方程，尤其适于解含有初始条件的线性时不变系统方程。
控制系统分析：系统功能块图化、零极点分析、稳态误差计算、暂态响应评估等。
电路理论：RLC电路瞬态和稳态解的求解、传递函数分析。
信号处理：在因果信号中分析瞬态和稳态行为；与Z变换共同在离散信号与数字系统中应用。

三、傅立叶与拉普拉斯的差异与联系

定义域不同
- 傅立叶变换一般适用于整个实轴（(-\infty) ~ (+\infty)）。
- 拉普拉斯变换主要针对 ( t \ge 0 ) 的因果系统，且将分析域映射到复平面。
侧重点不同
- 傅立叶变换关注的是频域特征和谐波分析，用于观察一个信号或系统的频谱分量。
- 拉普拉斯变换更适合研究系统在时域的动、稳态表现，尤其是进入复 $s$ 平面分析零极点分布、收敛域等。
相互关系
- 如果在拉普拉斯变换中令 ( s = j\omega )，就可退化为傅立叶变换。但要注意收敛条件可能限定了此退化是否合法。
- 在工程应用里，研究系统的瞬态响应和稳定性往往先用拉普拉斯变换，而分析频谱特征则常用傅立叶变换。
应用场景侧重
- 傅立叶变换常用于周期函数或无限时长信号的频率分析、滤波器设计、调制解调和频谱估计。
- 拉普拉斯变换在控制系统特性分析与初值问题、边值问题的线性微分方程求解中具有巨大优势，常用来研究系统稳定性和瞬态响应。

四、综合示例：从傅立叶到拉普拉斯

下面通过一个简短的示例来说明它们的区别与联系。

假设要分析一个因果信号 ( f(t),u(t) )（其中 (u(t)) 为单位阶跃函数），研究其在时域和频域的表现：

拉普拉斯分析
[
F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t),e^{-st},dt.
]
根据 (F(s)) 的极点和零点分布，可以判断该系统/信号在哪些条件下稳定、在 ( t \to +\infty ) 或 ( t \to 0^+ ) 的行为等。
傅立叶分析
如果信号满足相应的绝对可积或平方可积条件，令 ( s = j\omega )，
[
F(j\omega) = \int_{0}^{+\infty} f(t),e^{-j\omega t},dt,
]
可以得到其在频域上的分布情况，对信号的带宽、主频等信息一目了然。

通过“从拉普拉斯变换到傅立叶变换”的切换，可以兼顾系统的稳定性与频谱表现，为工程设计提供更多指导。