25、线性方程组求解：从低维到高维的拓展

线性方程组求解：从低维到高维的拓展

1. 高维线性方程概述

线性方程在实际应用中十分广泛，不仅仅局限于街机游戏等简单场景。常见的线性方程往往包含两个以上的未知变量，这些方程描述的是多维空间中的点集。当维度超过三维时，很难直观地想象其几何形态，但三维空间的情况可以作为一个有用的思维模型。在三维空间中，平面类似于二维空间中的直线，它们都可以用线性方程来表示。

2. 三维空间中平面的表示

为了理解直线和平面的类比关系，我们可以从点积的角度来思考直线。在二维平面中，方程 $ax + by = c$ 表示的是与固定向量 $(a, b)$ 的点积等于固定数 $c$ 的所有点 $(x, y)$ 的集合，即 $(a, b) · (x, y) = c$。

若在二维空间中有一个点 $(x_0, y_0)$ 和一个非零向量 $(a, b)$，那么存在一条唯一的直线，它既垂直于该向量，又经过这个点。对于直线上的任意一点 $(x, y)$，向量 $(x - x_0, y - y_0)$ 与直线平行，因此与向量 $(a, b)$ 垂直。根据两个垂直向量的点积为零，可得 $(a, b) · (x - x_0, y - y_0) = 0$，展开后得到 $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$，进一步整理为 $ax + by = ax_0 + by_0$。由于等式右边是一个常数，我们可以将其重命名为 $c$，从而得到直线的一般形式方程 $ax + by = c$。

同样的思路可以推广到三维空间。给定一个点 $(x_0, y_0, z_0)$ 和一个向量 $(a, b, c)$，存在一个唯一的平面，它垂直于该向量并经过这个点。对于平面上的任意向量 $(x