25、线性方程组求解：从低维到高维的探索

线性方程组求解：从低维到高维的探索

1. 线性方程的高维推广

线性方程在实际问题中广泛存在，不仅仅局限于二维平面中的简单形式。许多实际问题中的线性方程包含两个以上的未知变量，它们描述的是高维空间中的点集。虽然超过三维的空间很难直观想象，但三维空间的情况可以作为一个有用的思维模型。在三维空间中，平面类似于二维空间中的直线，并且同样可以用线性方程来表示。

2. 三维空间中平面的表示

为了理解直线和平面的类比关系，我们可以从点积的角度来思考直线。在二维平面中，方程 (ax + by = c) 表示的是与固定向量 ((a, b)) 的点积等于固定数 (c) 的所有点 ((x, y)) 的集合，即 ((a, b) \cdot (x, y) = c)。

给定二维平面中的一个点 ((x_0, y_0)) 和一个非零向量 ((a, b))，存在一条唯一的直线，它垂直于该向量并且经过该点。若点 ((x, y)) 在这条直线上，则向量 ((x - x_0, y - y_0)) 与直线平行，并且垂直于向量 ((a, b))。根据两个垂直向量的点积为零，我们可以得到：
((a, b) \cdot (x - x_0, y - y_0) = 0)
展开后得到：
(a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0)
进一步整理为：
(ax + by = ax_0 + by_0)
由于等式右边是一个常数，我们可以将其重命名为 (c)，从而得到直线的一般形式方程 (ax + by = c)。

类似地，在三维空间中，给定一个点 ((x_0, y_0, z_0)) 和一个向量 ((a, b, c))，存在一个