25、线性代数方程的求解方法与应用

线性代数方程的求解方法与应用

1. 矩阵秩与解的存在性和唯一性

1.1 子行列式与矩阵秩的定义

子行列式在矩阵分析中有着重要作用，它可以用来定义矩阵的秩。对于一个 (m\times n) 的矩阵 (A)，其秩 (r\geq1) 的定义为：当且仅当 (|A|) 包含一个非零的 (r\times r) 行列式，且每个阶数为 (r + 1) 或更高阶的方阵子行列式都为零。例如，若某个矩阵 (A) 满足 (|A| = 0)，但包含至少一个非零的 (2\times 2) 子行列式，那么该矩阵的秩为 2。在 MATLAB 中，可以使用 rank(A) 函数来确定矩阵 (A) 的秩。如果 (A) 是 (n\times n) 的方阵，且 (\det(A)\neq0)，则其秩为 (n)。

1.2 解的存在性和唯一性判断

对于线性方程组 (Ax = b)（其中 (A) 是系数矩阵，(x) 是未知向量，(b) 是常数向量），可以通过以下方法判断解的存在性和唯一性：
- 首先，需要形成增广矩阵 ([A\ b])。
- 方程组 (Ax = b) 有解的充要条件是 (\text{rank}(A)=\text{rank}([A\ b]))。设 (r = \text{rank}(A))，如果满足该条件且 (r = n)（(n) 为未知量的个数），则解是唯一的；如果满足该条件但 (r < n)，则存在无穷多个解，且 (r) 个未知变量可以表示为其余 (n - r) 个未知变量的线性组合，这些其余未知变量的值是任意的。
- 对于齐次方程组 (Ax = 0)（即 (b = 0) 的特殊情况），(\text{rank}(A)=