7、平面中的角度与三角学

平面中的角度与三角学

在平面向量的研究中，仅知道向量的长度是不足以完整描述它的，两个向量之间的距离信息也不足以让我们从一个向量过渡到另一个向量。这两种情况中，缺失的关键要素就是方向。如果我们既知道向量的长度，又知道它的指向，那么就能唯一确定这个向量并求出其坐标。这很大程度上就是三角学所涉及的内容。

1. 平面向量的表示方法

到目前为止，我们使用两条“尺子”（即 x 轴和 y 轴）来度量平面中的向量。从原点出发的箭头在水平和垂直方向上有可测量的位移，这些值能够唯一指定一个向量。不过，除了使用两条“尺子”，我们也可以使用一条“尺子”和一个量角器。以向量 (4, 3) 为例，我们可以测量或计算出它的长度为 5 个单位，然后用量角器确定它的方向，这个向量的长度是 5 个单位，它从 x 轴正半轴逆时针方向大约成 37°角。这就得到了一对新的数 (5, 37°)，和原始的坐标一样，这对数也能唯一指定该向量。这些数被称为极坐标，它们和我们之前使用的笛卡尔坐标一样，都能很好地描述平面中的点。

有时候，比如在进行向量加法运算时，使用笛卡尔坐标会更方便；而在其他情况下，极坐标则更有用，例如当我们想研究向量旋转一定角度的情况时。在编写代码时，我们没有实际的尺子和量角器可用，因此需要使用三角函数来进行坐标之间的转换。

2. 从角度到分量

假设我们已知一个角度和一段距离，例如 116.57°和 3，这就定义了一对极坐标 (3, 116.57°)。如何从几何角度求出这个向量的笛卡尔坐标呢？
- 步骤一：确定方向 ：将量角器放置在原点，从 x 轴正半轴逆时针测量 116.57°，并沿该方向画一条线。向量 (3, 116