27、根系系统与相关群论的深入剖析

根系系统与相关群论的深入剖析

一、根系系统基础概念与性质

1.1 根系系统定义与相关集合

在数学领域，根系系统是一个重要的概念。对于根系系统 (R)，我们定义 (W^+(R)) 为 (W(R)) 中行列式为 1 的元素集合。接下来，我们将针对不同类型的根系系统展开详细探讨。

1.2 不同类型根系系统的性质

1.2.1 (E_8) 型根系系统

• 根的同余性质 ：若 (\alpha, \beta \in R) 在模 (2Q(R)) 下同余，那么 (\beta = \pm\alpha)。由此可进一步推导得出，若 (w \in W(R)) 在 (Q(R)/2Q(R)) 上作用平凡，则 (w = \pm1)。
• 二次型性质 ：在 (Q(R)) 上的二次型 (\frac{1}{2}(x|x)) 通过商运算可定义一个非退化的二次型 (q_8) 于 (F_2) - 向量空间 (Q(R)/2Q(R)) 上。该二次型的伪判别式为 0，且指标为 4。
• 正交群与同态关系 ：设 (O(q_8)) 为 (Q(R)/2Q(R)) 关于此二次型的正交群。通过商运算可定义一个同态 (h: W(R) \to O(q_8))，并且序列 (1 \to {1, -1} \to W(R) \stackrel{h}{\to} O(q_8) \to 1) 是正合的。同时，(W^+(R)) 在 (h) 下的像为 (O(q_8)) 的子群 (O^+(q_8))，进而可推出 (W^+(R)/{1, -1}) 是一个非阿贝尔单群。

1.2.2 (E_6) 型根系系统

• 向量空间与双线性型 ：令 (E = Q(R)/2W(R))，这是一个维数为 5 的 (F_2) - 向量空间。在特定记号下，标量积 ((x|y)) 在 (E) 上定义了一个非退化的对称双线性型 (\varphi)，且 (R) 中任意两个不同元素在 (E) 中有不同的像。
• 正交群结构 ：设 (O(\varphi)) 为 (\varphi) 的正交群，则 (O(\varphi) = {1, -1} \times SO(5))。旋量范数定义了一个从 (SO(5)) 到 ({1, -1}) 的满同态，其核记为 (SO^+(\varphi))，该群是阶为 (25920) 的单群。商群 (O(\varphi)/SO^+(\varphi)) 为 ((2, 2)) 型，由此可推出 (O(\varphi)) 包含一个唯一的指标为 2 的子群 (\Omega(\varphi))，它不同于 (SO(\varphi)) 且不包含 (-1)。
• 同态与群的扩张 ：(A(R)) 中的每个元素通过商运算可定义 (O(\varphi)) 中的一个元素，从而得到一个从 (A(R)) 到 (O(\varphi)) 的同态。(W(R)) 在此同态下的像为 (\Omega(\varphi))，(W^+(R)) 的像为 (SO^+(\varphi))，所以 (W(R)) 是 (Z/2Z) 被一个阶为 (25920) 的单群的扩张。
• 二次型与同构关系 ：令 (F = Q(R)/2Q(R))，这是一个维数为 6 的 (F_2) - 向量空间。二次型 (\frac{1}{2}(x|x)) 通过商运算定义了一个非退化的二次型 (q_6) 于 (F) 上，其伪判别式为 1。定义同态 (h: W(R) \to O(q_6))，可证明 (h) 是单射，进而可知它是同构。由此可推出 (W^+(R)) 与 (O^+(q_6)) 同构，并且通过比较可知 (SO^+(\varphi)) 与 (O^+(q_6)) 同构。

1.2.3 (E_7) 型根系系统

• 向量空间与双线性型 ：令 (E = Q(R)/2P(R))，这是一个维数为 6 的 (F_2) - 向量空间。在特定记号下，标量积 ((x|y)) 在 (E) 上定义了一个非退化的交错双线性型。
• 正合序列 ：由此可推出存在正合序列 (1 \to {1, -1} \to W(R) \to Sp(6, F_2) \to 1)。同时，(h) 限制在 (W^+(R)) 上是从 (W^+(R)) 到 (Sp(6, F_2)) 的同构。此外，还可利用二次型 (q_7) 以及同构 (O(q_7) \to Sp(6, F_2)) 给出另一种证明。

1.3 根系系统的极大闭对称子集

对于不可约约化根系系统 (R)，我们考虑其极大闭对称子集。设 ((\alpha_1, \cdots, \alpha_l)) 为 (R) 的一组基，(\delta) 为最高根，令 (\Lambda = n_1\alpha_1 + \cdots + n_l\alpha_l)。
- 子集 (R_i) 的极大性 ：对于 (i \in {1, 2, \cdots, l})，设 (R_i) 为 (R) 中可由 (j \neq i) 的 (\alpha_j) 线性组合表示的根的集合。(R_i) 是极大的当且仅当 (n_i = 1)。
- 子集 (S_i) 的极大性 ：若 (n_i > 1)，设 (S_i) 为根 (\sum_{j = 1}^{l} m_j\alpha_j) 中 (m_i \equiv 0 \pmod{n_i}) 的集合。(S_i) 是极大的当且仅当 (n_i) 为素数。同时，根 (-\alpha_i, \alpha_j (j \neq i)) 构成 (S_i) 的一组基，可进一步推导出 (S_i) 的 Dynkin 图。
- 极大闭对称子集的分类 ：每个极大闭对称子集都可通过 (W(R)) 中的元素变换为上述 (R_i) 或 (S_i) 形式的子集。不同类型的不可约约化根系系统的极大闭对称子集可进行详细列举。

1.4 其他相关性质

• 子群 (P’(R)) 的性质 ：对于根系系统 (R)，子群 (P’(R)) 的性质与 (R) 的类型密切相关。当 (R) 为特定类型时，如 (A_l)（(l) 为偶数）、(B_l)（(l \equiv 0, 3 \pmod{4})）、(D_l)（(l \equiv 0, 1 \pmod{4})）、(G_2)、(F_4)、(E_6)、(E_8) 时，(P’(R) = P(R))；当 (R) 为 (C_l)、(B_l)（(l \equiv 1, 2 \pmod{4})）、(E_7)、(A_1) 时，(P’(R) = Q(R))；当 (R) 为 (A_l)（(l) 为奇数且 (l > 1)）时，(P’(R)/Q(R)) 是循环群 (P(R)/Q(R)) 中唯一的指标为 2 的子群；当 (R) 为 (D_l)（(l \equiv 2, 3 \pmod{4})）时，(P’(R)/Q(R)) 是 (P(R)/Q(R)) 中唯一的阶为 2 且在 (A(R)) 下稳定的子群。
• 一些等式关系 ：对于不可约约化根系系统 (R)，在各种情况下有 (\mu_1\rho_1 \cdots \mu_l\rho_l m_1 m_2 \cdots m_l = \omega_1 \omega_2 \cdots \omega_l)，以及 (q m_1 m_2 \cdots m_l = f \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_l)。对于正根 (\alpha = \sum_{i = 1}^{l} r_i\alpha_i)，定义 (c(\alpha) = \sum_{i = 1}^{l} r_i)，可计算多项式 (P(t) = \sum_{\alpha > 0} c(\alpha))，并且验证 (P(t) = t \sum_{i = 1}^{l} (1 + t + \cdots + t^{m_i - 1}))。

二、根系系统相关群的进一步研究

2.1 群同态与性质

• 规范同态的单射性 ：对于不可约约化根系系统 (R)，规范同态从 (A(R)/W(R)) 到 (P(R)/Q(R)) 的自同构群是单射。由此可推出 (-1) 属于 (W(R)) 当且仅当 (Q(R) \supseteq 2P(R))。
• 根系系统的同构关系 ：若两个不可约约化根系系统 (R_1) 和 (R_2) 的 Weyl 群 (W(R_1)) 和 (W(R_2)) 阶相同，则 (R_1) 同构于 (R_2) 或 (R_2^{-})。但如果不假设 (R_1) 不可约，该结果不一定成立。
• 素数与群阶的关系 ：设 (R) 为秩为 (l) 的根系系统，(p) 为整除 (A(R)) 阶的素数，则 (p \leq l + 1)。

2.2 Coxeter 系统相关性质

2.2.1 有限 Coxeter 系统的多项式公式

对于不可约有限 Coxeter 系统 ((W, S))，定义 (W(t) = \sum_{w \in W} t^{l(w)})，其中 (l(w)) 为 (w) 的长度。设 (m_1, \cdots, m_l) 为 (W) 的指数，可验证公式 (W(t) = \prod_{i = 1}^{l} (1 + t + \cdots + t^{m_i})) 对于较小的 (l) 值成立。对于约化不可约根系系统 (R) 的 Weyl 群 (W) 和仿射 Weyl 群 (W_a)，定义 (W_a(t) = \sum_{w \in W_a} t^{l(w)})，可验证公式 (W_a(t) = W(t) \prod_{i = 1}^{l} \frac{1}{1 - t^{m_i + 1}} \prod_{i = 1}^{l} \frac{1 + t + \cdots + t^{m_i}}{1 - t^{m_i}}) 对于较小的 (l) 值成立。

2.2.2 (H_3) 型 Coxeter 系统

• Coxeter 数与指数 ：在 (H_3) 型 Coxeter 系统 ((W, S)) 中，通过特定计算可知 ((z, z’) = \frac{7}{5})，进而推出 Coxeter 数 (h) 等于 10，指数为 1, 5, 9。
• 群的阶与反射数量 ：由此可得出 (Card(W) = 120)，且 (W) 中反射的数量为 15。还可通过应用相关定理重新得到 (Card(W) = 120) 的结果。
• 同态与同构关系 ：设 (A_5) 为 ({1, \cdots, 5}) 的交错群，定义 (r_1 = (14)(23))，(r_2 = (12)(15))，(r_3 = (12)(34))，可证明 ((r_1r_2)^5 = (r_2r_3)^3 = (r_1r_3)^2 = 1)，从而得到从 (W) 到 (A_5) 的满同态 (f)。再结合同态 (\epsilon: W \to { \pm 1 })，可证明 ((f, \epsilon): W \to A_5 \times { \pm 1 }) 是同构。

2.3 四元数相关的群

设 ((1, i, j, k)) 为四元数体 (H) 的标准基，(H) 配备标量积 (\frac{1}{2}(x|y) + \frac{1}{2}xy)，(\Gamma) 为范数为 1 的四元数的乘法群。
- 正交反射 ：若 (a \in \Gamma)，将 (a) 变换为 (-a) 的 (H) 中的正交反射 (s_a) 为映射 (x \to -axa)。
- 子群 (Q) 的性质 ：设 (\sigma = \cos \theta - 4i + (\cos \theta)j \in \Gamma)，(\tau = \frac{1}{2}(1 + i + j + k) \in \Gamma)，(Q) 为通过对 (\sigma, \tau) 进行任意偶置换和坐标符号改变得到的四元数集合，(Q) 是 (\Gamma) 的阶为 120 的子群。
- 群 (W) 的性质 ：设 (W) 为 (GL(H)) 中由 (a \in Q) 的 (s_a) 生成的子群，可证明 (W) 使 (Q) 稳定，是有限、不可约且非晶体学的，从而推出 (W) 为 (H_3) 型。还可证明 (W) 在 (Q) 上传递作用，(W) 的 Coxeter 数为 30，指数为 1, 11, 19, 29。

2.4 其他相关构造与性质

• (E_8) 型根系系统的构造 ：设 (V) 为 (R^9) 中方程 (x_1 + \cdots + x_9 = 0) 定义的超平面，(R) 为 (V) 中由特定点及其坐标置换得到的点集，可证明 (R) 是 (V) 中 (E_8) 型的根系系统。
• Coxeter 变换 ：对于 (A_l) 型根系系统 (R)，(R^{l + 1}) 中将 (x_1) 变换为 (x_2)，(x_2) 变换为 (x_3)，(\cdots)，(x_{l + 1}) 变换为 (x_1) 的自同构诱导了 (R) 的 Coxeter 变换。
• 极小权重的确定 ：可确定不同类型约化不可约根系系统的极小权重，如 (A_l) 型为基本权重 (\omega_1, \cdots, \omega_l)，(B_l) 型为权重 (\omega_1)，(C_l) 型为权重 (\omega_1)，(D_l) 型为权重 (\omega_1, \omega_{l - 1}, \omega_l)，(E_6) 型为权重 (\omega_1, \omega_6)，(E_7) 型为权重 (\omega_7)，(E_8)、(F_4) 和 (G_2) 型无极小权重。
• Coxeter 系统的子系统与表示 ：对于不可约有限 Coxeter 系统 ((W, S))，若 ((W, S)) 不是 (F_4) 型，则存在 (S) 的含 (n - 1) 个元素的子集 (X) 使得 ((W_X, X)) 为 (A_{n - 1}) 型。可将 (W) 与 (GL(R^S)) 的子群等同，存在 (R^S) 的基 ((e_1, \cdots, e_n)) 使得对于任意置换 (\pi \in S_n)，将 (e_i) 变换为 (e_{\pi(i)}) 的自同构属于 (W)。设 (E) 为 ((W, S)) 的自同构群的子群，半直积 (E \ltimes W) 可规范嵌入 (GL(R^S))，除特定四种情况外，该子群由反射生成。对于有限子群 (G) 包含由反射生成的不可约本质子群 (W_1)，(G) 要么由反射生成，要么为 (E \ltimes W) 形式，其中 (E) 和 (W) 为上述特定类型。

三、历史发展回顾

3.1 早期发展

根系系统及相关群论的历史根源可追溯到很早以前，远早于群概念的引入。其起源于对几何图形“规则性”或“对称性”的研究，特别是正多边形和正多面体的确定，这是古希腊数学的杰出成就之一。后来，阿拉伯学者和开普勒开始研究平面或球面的规则“镶嵌”理论，这与古代和阿拉伯文明的装饰艺术密切相关。

3.2 19 世纪的发展

3.2.1 晶体学与群论的联系

1830 - 1840 年左右，晶体学研究促使人们考虑三维欧几里得空间中有限位移群的确定问题，但当时尚未使用群论语言。直到 1860 年左右，群论语言才开始广泛使用，1869 年 Jordan 确定了 (R^3) 中保定向位移的离散子群。

3.2.2 有限群的表示与分类

• 旋转群的生成 ：1850 年，Hamilton 证明了欧几里得空间 (R^3) 中有限旋转群由两个生成元 (S, T) 生成，满足 (S^p = T^q = (ST)^r = 1) 对于适当的 (p, q, r) 值。
• 反射生成的位移群 ：1852 年，Möbius 基本确定了球面几何中由反射生成的有限位移群，除循环群外，此类群的基本域为球面三角形，边长为 (\frac{\pi}{p}, \frac{\pi}{q}, \frac{\pi}{r})，其中 (p, q, r) 为大于 1 的整数且 (\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1)。
• 复平面与双曲平面的研究 ：随着 Riemann 和 Schwarz 对双曲函数和共形表示的研究，开始了复平面或半平面的“镶嵌”研究，Klein 和 Poincaré 将其作为“自守函数”理论的基础，认识到这与非欧几里得双曲平面的离散位移群确定问题等价。
• 高维空间的研究 ：Schläfli 在 1850 年左右将正多面体和 (R^3) 的镶嵌概念推广到所有欧几里得空间 (R^n)，完全确定了每个 (R^n) 中的正“多胞体”、使其不变的位移群及其基本域，但未解决 (R^n) 中由反射生成的有限位移群的确定问题，该问题后来由 Coursat（(n = 4)）、E. Cartan 和 Coxeter 解决。

3.3 李群相关的发展

3.3.1 根系与李代数的联系

1890 年左右，Killing 和 E. Cartan 对复半单李代数结构的研究引入了新的思想。在他们的研究中，某些线性形式（即“根”）在“Cartan 子代数”上立即发挥了基本作用，这些根构成了“约化根系系统”。他们证明了复半单李代数的分类归结为相关根系系统的分类，还引入了“Coxeter 变换”并研究其特征值，但最初未考虑由根对应的置换生成的群。

3.3.2 Weyl 群的几何解释

H. Weyl 对上述群（即后来的 Weyl 群）进行了几何解释，将根对应的置换视为向量空间中的反射。他还引入了“仿射 Weyl 群”的基本域，用于证明紧半单群的基本群有限，这是证明复半单李代数线性表示完全可约性的关键。E. Cartan 进一步完善了 Weyl 的理论，完成了 Weyl 群和仿射 Weyl 群基本多胞体的确定，引入了权重和根权重系统，还遇到了非约化根系系统的例子。

3.3.3 分类与 Coxeter 群的确定

van der Waerden 证明了复半单李代数的分类等价于约化根系系统的分类，通过初等几何考虑完成了分类。Coxeter 明确确定了所有由反射生成的欧几里得位移的不可约有限群，证明了由反射生成的有限群是唯一允许由生成元 (R_i) 满足关系 ((R_iR_j)^{m_{ij}} = 1)（(m_{ij}) 为整数）表示的有限群，从而引入了“Coxeter 群”的概念。

3.4 现代发展

3.4.1 不同研究方向的联系

Coxeter 和 Witt 建立了由反射生成的欧几里得无限位移群与复简单李代数之间的联系，Witt 重新确定了此类离散群，并扩展了 Coxeter 关于 Coxeter 群与无限离散欧几里得位移群同构的定理。此后，半单李群理论和由反射生成的离散群理论相互作用，取得了丰硕成果。

3.4.2 多项式不变量与拓扑应用

20 世纪 60 年代左右，发现 Weyl - 群下不变的多项式在无限维线性表示理论和李群拓扑中起着重要作用。Coxeter 研究了有限反射群基本反射乘积的变换 (C)，观察到该群下不变多项式代数由代数独立元素生成，其度数与 (C) 的特征值有简单关系。Chevalley、Coleman 和 Steinberg 分别给出了这些结果的先验证明。

3.4.3 线性代数群的发展

A. Borel 对线性代数群的研究引入了新的发展方向，强调了李群中极大连通可解子群（即“Borel 子群”）的重要性，将经典理论的大部分内容推广到代数闭域上的代数群，但未完成简单代数群的分类。F. Bruhat 发现经典简单群关于 Borel 子群的双陪集分解由 Weyl 群规范索引。Chevalley 成功将复半单李代数与每个交换域 (k) 关联一个具有 Bruhat 分解的矩阵群，并证明该群在大多数情况下是简单的，从而构造了一系列有限简单群。此后，许多作者通过类似方法构造了其他有限简单群。J. Tits 对 Chevalley 方法进行分析，引入了“B - N 对”（即“Tits 系统”）的概念，证明了具有 Tits 系统的抽象群在满足一定条件下是简单的。Iwahori 和 Matsumoto 发现当 (k) 为 (p) - 进域时，Chevalley 构造的群具有 Tits 系统，其 Weyl 群为仿射 Weyl 群，该结果后来被 Bruhat 和 Tits 推广到所有局部域上的半单代数群。

四、总结与展望

4.1 内容总结

本文详细探讨了根系系统及其相关群论的诸多方面，包括不同类型根系系统的性质、Coxeter 系统的特性、四元数相关群的构造以及历史发展脉络。通过对根系系统的深入研究，我们揭示了其在数学多个领域的重要应用，如李代数、几何和群论等。从根系系统的基本定义出发，我们逐步推导了各种性质和定理，包括根的同余性质、二次型的特性、Weyl 群和仿射 Weyl 群的多项式公式等。在 Coxeter 系统方面，我们研究了不同类型的 Coxeter 系统，如 (H_3) 型，确定了其 Coxeter 数和指数等重要参数。四元数相关群的构造为我们提供了新的研究视角，展示了群论在不同代数结构中的应用。历史发展回顾则让我们了解到根系系统和相关群论的研究是一个长期积累和不断发展的过程，众多数学家的贡献推动了该领域的进步。

4.2 未来展望

尽管我们已经取得了许多重要成果，但根系系统和相关群论仍有许多待探索的领域。在理论研究方面，我们可以进一步深入研究高维根系系统的性质和分类，探索更复杂的 Coxeter 系统和群结构。在应用方面，根系系统和群论在物理、计算机科学和密码学等领域可能有潜在的应用，我们可以尝试将这些理论应用到实际问题中，为其他学科的发展提供支持。此外，随着数学研究的不断深入，我们可能会发现新的研究方法和工具，进一步推动根系系统和相关群论的发展。

以下是一个 mermaid 格式流程图，展示根系系统研究的主要步骤：

graph LR
    A[定义根系系统] --> B[研究不同类型根系性质]
    B --> C[推导相关群的性质]
    C --> D[探索历史发展脉络]
    D --> E[总结成果与展望未来]

以下是一个表格，总结不同类型根系系统的部分重要性质：
| 根系系统类型 | 向量空间维数 | 二次型性质 | Weyl 群相关性质 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| (E_8) | (Q(R)/2Q(R)) 维数为 8 | 伪判别式为 0，指标为 4 | (W^+(R)/{1, -1}) 为非阿贝尔单群 |
| (E_6) | (Q(R)/2Q(R)) 维数为 6 | 伪判别式为 1 | (W(R)) 是 (Z/2Z) 被单群的扩张 |
| (E_7) | (Q(R)/2P(R)) 维数为 6 | 定义交错双线性型 | 存在正合序列与 (Sp(6, F_2)) 相关 |

通过以上内容，我们对根系系统和相关群论有了更全面的了解，为进一步的研究和应用奠定了基础。希望本文能够激发读者对该领域的兴趣，推动相关研究的发展。

五、根系系统性质的深入解析

5.1 根系系统极大闭对称子集的详细分析

在之前的内容中，我们提及了不可约约化根系系统 (R) 的极大闭对称子集，下面我们进一步深入分析其相关性质。

设 ((\alpha_1, \cdots, \alpha_l)) 是 (R) 的一组基，(\delta) 为最高根，(\Lambda = n_1\alpha_1 + \cdots + n_l\alpha_l)。对于 (i \in {1, 2, \cdots, l})，子集 (R_i) 和 (S_i) 的性质有着重要意义。

• 子集 (R_i) 的性质证明
  • 当 (n_i = 1) 时，要证明 (R_i) 是极大的。假设存在一个闭对称子集 (E) 使得 (R_i \subsetneq E \subseteq R)。因为 (R_i) 是由 (j \neq i) 的 (\alpha_j) 线性组合表示的根的集合，那么 (E) 中必然存在一个根 (\beta) 包含 (\alpha_i) 的非零系数。但由于 (n_i = 1)，这会导致 (E) 与 (R) 相同，所以 (R_i) 是极大的。反之，如果 (R_i) 是极大的，若 (n_i > 1)，则可以构造一个更大的闭对称子集，这与 (R_i) 的极大性矛盾，所以 (n_i = 1)。
• 子集 (S_i) 的性质证明
  • 当 (n_i) 为素数时，证明 (S_i) 是极大的。设 (S_i) 为根 (\sum_{j = 1}^{l} m_j\alpha_j) 中 (m_i \equiv 0 \pmod{n_i}) 的集合。假设存在一个闭对称子集 (E’) 使得 (S_i \subsetneq E’ \subseteq R)。若 (n_i = ab)（(a > 1)，(b > 1)），可以构造一个子集 (S’) 为根 (\sum_{j = 1}^{l} m_j\alpha_j) 中 (m_i \equiv 0 \pmod{a}) 的集合，显然 (S_i \subsetneq S’ \subseteq R)，这与 (S_i) 的极大性矛盾。所以 (n_i) 必须为素数。同时，根 (-\alpha_i, \alpha_j (j \neq i)) 构成 (S_i) 的一组基，通过线性组合的方式可以表示 (S_i) 中的所有根，进而可以推导出 (S_i) 的 Dynkin 图。

5.2 子群 (P’(R)) 性质的进一步探讨

子群 (P’(R)) 的性质与根系系统 (R) 的类型密切相关，下面我们详细分析不同类型根系系统下 (P’(R)) 的情况。

根系系统类型	(P’(R)) 的性质
(A_l)（(l) 为偶数）	(P’(R) = P(R))
(A_l)（(l) 为奇数且 (l > 1)）	(P’(R)/Q(R)) 是循环群 (P(R)/Q(R)) 中唯一的指标为 2 的子群
(B_l)（(l \equiv 0, 3 \pmod{4})）	(P’(R) = P(R))
(B_l)（(l \equiv 1, 2 \pmod{4})）	(P’(R) = Q(R))
(D_l)（(l \equiv 0, 1 \pmod{4})）	(P’(R) = P(R))
(D_l)（(l \equiv 2, 3 \pmod{4})）	(P’(R)/Q(R)) 是 (P(R)/Q(R)) 中唯一的阶为 2 且在 (A(R)) 下稳定的子群
(C_l)	(P’(R) = Q(R))
(G_2)	(P’(R) = P(R))
(F_4)	(P’(R) = P(R))
(E_6)	(P’(R) = P(R))
(E_7)	(P’(R) = Q(R))
(E_8)	(P’(R) = P(R))

这些性质的推导基于根系系统的定义和相关定理，通过对不同类型根系系统的结构分析得出。例如，对于 (A_l) 型根系系统，当 (l) 为偶数时，根据 (P(R)) 和 (P’(R)) 的定义以及 (A_l) 型根系的特点，可以证明 (P’(R) = P(R))；当 (l) 为奇数且 (l > 1) 时，通过分析 (P(R)/Q(R)) 的结构，确定 (P’(R)/Q(R)) 是唯一的指标为 2 的子群。

5.3 一些等式关系的证明与应用

对于不可约约化根系系统 (R)，有等式 (\mu_1\rho_1 \cdots \mu_l\rho_l m_1 m_2 \cdots m_l = \omega_1 \omega_2 \cdots \omega_l) 和 (q m_1 m_2 \cdots m_l = f \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_l)。

• 等式 (\mu_1\rho_1 \cdots \mu_l\rho_l m_1 m_2 \cdots m_l = \omega_1 \omega_2 \cdots \omega_l) 的证明
  • 该等式的证明通常基于根系系统的结构和相关的线性代数知识。通过对根的线性组合、权重的定义以及 Weyl 群的作用进行分析，可以逐步推导得出该等式。具体来说，利用根的对称性和 Weyl 群对权重的置换作用，结合一些基本的代数运算，可以建立起等式两边的联系。
• 等式 (q m_1 m_2 \cdots m_l = f \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_l) 的证明
  • 此等式的证明需要综合考虑根系系统的阶 (q)、指数 (m_i)、连接指数 (f) 和根 (\alpha_i) 的性质。通过对根系系统的分类和具体计算，结合一些已知的定理和公式，可以证明该等式。例如，对于不同类型的根系系统，分别计算等式两边的值，验证其相等性。

对于正根 (\alpha = \sum_{i = 1}^{l} r_i\alpha_i)，定义 (c(\alpha) = \sum_{i = 1}^{l} r_i)，多项式 (P(t) = \sum_{\alpha > 0} c(\alpha)) 满足 (P(t) = t \sum_{i = 1}^{l} (1 + t + \cdots + t^{m_i - 1}))。证明该等式可以通过对正根的枚举和多项式的运算来完成。首先，将正根按照一定的顺序进行排列，然后计算每个正根的 (c(\alpha)) 值，最后对所有正根的 (c(\alpha)) 值进行求和，通过代数变形得到等式右边的形式。

六、Coxeter 系统相关性质的拓展

6.1 有限 Coxeter 系统多项式公式的证明思路

对于不可约有限 Coxeter 系统 ((W, S))，定义 (W(t) = \sum_{w \in W} t^{l(w)})，其中 (l(w)) 为 (w) 的长度。设 (m_1, \cdots, m_l) 为 (W) 的指数，公式 (W(t) = \prod_{i = 1}^{l} (1 + t + \cdots + t^{m_i})) 对于较小的 (l) 值成立。

证明该公式的一种思路是通过对 Coxeter 系统的结构进行分析。首先，考虑 Coxeter 系统的生成元 (S) 和它们之间的关系。利用 Coxeter 群的性质，将 (W) 中的元素 (w) 表示为生成元的乘积形式，然后根据长度 (l(w)) 的定义计算 (t^{l(w)})。通过对 (W) 中所有元素的求和，结合指数 (m_i) 的性质，利用代数运算和组合数学的方法，可以推导出该公式。

对于约化不可约根系系统 (R) 的 Weyl 群 (W) 和仿射 Weyl 群 (W_a)，定义 (W_a(t) = \sum_{w \in W_a} t^{l(w)})，公式 (W_a(t) = W(t) \prod_{i = 1}^{l} \frac{1}{1 - t^{m_i + 1}} \prod_{i = 1}^{l} \frac{1 + t + \cdots + t^{m_i}}{1 - t^{m_i}}) 对于较小的 (l) 值成立。证明该公式需要考虑仿射 Weyl 群的结构和性质，它与 Weyl 群之间的关系，以及指数 (m_i) 在仿射 Weyl 群中的作用。通过对仿射 Weyl 群元素的分析和求和，结合 Weyl 群的多项式公式，进行代数变形和化简，最终得到该公式。

6.2 (H_3) 型 Coxeter 系统的详细计算

在 (H_3) 型 Coxeter 系统 ((W, S)) 中，通过特定计算可知 ((z, z’) = \frac{7}{5})，进而推出 Coxeter 数 (h) 等于 10，指数为 1, 5, 9。

• 计算 ((z, z’) = \frac{7}{5}) 的过程
  • 这通常涉及到 (H_3) 型 Coxeter 系统的几何表示和向量运算。通过定义系统中的向量 (z) 和 (z’)，利用向量的内积公式和 Coxeter 系统的结构性质进行计算。具体来说，根据 (H_3) 型 Coxeter 系统的生成元之间的关系，将向量 (z) 和 (z’) 表示为生成元的线性组合，然后进行内积运算，经过一系列的代数化简得到 ((z, z’) = \frac{7}{5})。
• 推导 Coxeter 数 (h) 和指数的过程
  • Coxeter 数 (h) 的推导与系统的结构和元素的性质有关。通过对 (H_3) 型 Coxeter 系统的研究，利用其生成元之间的关系和元素的阶数等信息，可以计算出 Coxeter 数 (h) 等于 10。指数的确定则需要考虑系统的特征值和特征向量等方面的知识。通过对 Coxeter 变换的分析，计算其特征值，进而得到指数为 1, 5, 9。

6.3 Coxeter 系统子系统与表示的深入研究

对于不可约有限 Coxeter 系统 ((W, S))，若 ((W, S)) 不是 (F_4) 型，则存在 (S) 的含 (n - 1) 个元素的子集 (X) 使得 ((W_X, X)) 为 (A_{n - 1}) 型。

• 证明存在子集 (X) 的思路
  • 证明该结论需要对 Coxeter 系统的结构进行深入分析。首先，考虑 Coxeter 系统的生成元 (S) 和它们之间的关系。通过对不同类型 Coxeter 系统的分类和性质研究，利用组合数学和图论的方法，找到一种合适的方式选取子集 (X)，使得 ((W_X, X)) 满足 (A_{n - 1}) 型的条件。具体来说，根据 Coxeter 系统的 Dynkin 图，分析其节点和边的关系，通过删除一个合适的节点得到子集 (X)，并验证 ((W_X, X)) 的性质。
• 将 (W) 与 (GL(R^S)) 子群等同的过程
  • 这涉及到 Coxeter 系统的表示理论。通过定义一个从 (W) 到 (GL(R^S)) 的同态，将 (W) 中的元素映射到 (GL(R^S)) 中的线性变换。具体来说，对于 (W) 中的每个元素 (w)，定义一个线性变换 (T_w) 作用在 (R^S) 上，使得 (T_w) 满足 (W) 中元素的运算规则。通过验证同态的性质，证明 (W) 与 (GL(R^S)) 的一个子群同构。

设 (E) 为 ((W, S)) 的自同构群的子群，半直积 (E \ltimes W) 可规范嵌入 (GL(R^S))，除特定四种情况外，该子群由反射生成。这四种情况分别为：
- ((W, S)) 是 (A_n) 型，(n \geq 4)，群 (E) 的阶为 2。
- ((W, S)) 是 (D_l) 型，群 (E) 的阶为 3。
- ((W, S)) 是 (F_4) 型，群 (E) 的阶为 2。
- ((W, S)) 是 (E_6) 型，群 (E) 的阶为 2。

在这四种情况下，半直积 (E \ltimes W) 不满足由反射生成的条件，需要特殊处理。对于其他情况，通过对 (E) 和 (W) 的元素进行分析，利用半直积的定义和反射的性质，可以证明 (E \ltimes W) 由反射生成。

七、应用与未来研究方向

7.1 根系系统在其他领域的应用

根系系统和相关群论在数学的多个领域有着重要的应用，同时在其他学科中也有潜在的应用价值。

• 在物理中的应用
  • 在量子力学和粒子物理中，根系系统和 Weyl 群可以用于描述对称性和守恒定律。例如，在研究粒子的对称性时，根系系统可以提供一种数学模型来描述粒子的变换和相互作用。通过对根系系统的分析，可以预测粒子的性质和行为，为实验研究提供理论支持。
• 在计算机科学中的应用
  • 在密码学中，群论的概念可以用于设计加密算法。根系系统和相关群的结构可以提供一种新的加密思路，利用群的运算和性质来保证信息的安全性。例如，通过设计基于 Weyl 群的加密算法，可以提高加密的强度和安全性。
• 在密码学中的应用
  • 除了上述提到的加密算法设计，根系系统还可以用于密码协议的设计。通过利用根系系统的性质，可以设计出更加安全和高效的密码协议，满足不同场景下的安全需求。

7.2 未来研究方向

尽管我们已经对根系系统和相关群论进行了深入的研究，但仍有许多待探索的领域。

• 高维根系系统的研究
  • 目前对低维根系系统的研究已经取得了很多成果，但高维根系系统的性质和分类仍然是一个挑战。未来可以进一步深入研究高维根系系统的结构和性质，探索其在数学和其他领域的应用。
• 复杂 Coxeter 系统和群结构的研究
  • 除了常见的 Coxeter 系统，还存在许多复杂的 Coxeter 系统和群结构。可以研究这些复杂系统的性质和分类，寻找新的定理和应用。
• 跨学科应用的拓展
  • 进一步探索根系系统和相关群论在物理、计算机科学、密码学等领域的应用，将理论与实际问题相结合，为其他学科的发展提供支持。

以下是一个 mermaid 格式流程图，展示根系系统研究的未来方向：

graph LR
    A[高维根系系统研究] --> B[复杂 Coxeter 系统研究]
    A --> C[跨学科应用拓展]
    B --> C

通过对根系系统和相关群论的深入研究，我们不仅可以揭示数学内部的结构和规律，还可以为其他学科的发展提供有力的支持。未来的研究将继续拓展我们对这些领域的认识，推动数学和相关学科的发展。