24、根系分类的深入剖析

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根系分类的深入剖析

1. 引言

根系分类在数学领域中占据着重要的地位，它对于理解向量空间中的特定结构以及相关群的性质具有关键作用。本文将详细探讨不同类型根系系统的特性，包括Bl、Cl、Al和Dt型根系，涵盖根系的定义、基本性质、相关图形以及群的作用等方面。

2. Bl型根系系统（l ≥ 2）

根系定义与性质 ：考虑向量空间 $V = R^l$ 中的群 $L_0$，根系 $R$ 是由满足 $(\alpha|\alpha) = 1$ 或 $(\alpha|\alpha) = 2$ 的向量 $\alpha$ 组成，具体为 $\pm\epsilon_i$（$1 \leq i \leq l$）和 $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$（$1 \leq i < j \leq l$）。可以证明，$R$ 生成 $V$，并且对于任意 $\alpha, \beta \in R$，有 $2(\alpha|\beta)/(\alpha|\alpha) \in Z$，所以 $R$ 是 $V$ 中的一个约化根系。根系的数量为 $n = 2l + 2l(l - 1) = 2l^2$。
基的确定 ：令 $\alpha_1 = \epsilon_1 - \epsilon_2$，$\alpha_2 = \epsilon_2 - \epsilon_3$，$\cdots$，$\alpha_{l - 1} = \epsilon_{l - 1} - \epsilon_l$，$\alpha_l = \epsilon_l$。通过一系列公式推导可知，$(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l)$ 是 $R$ 的一个基。并且，$|\alpha_i|^2 = 2$（$i < l$），$|\alpha_l|^2 = 1$，$(\alpha_i|\alpha_{i + 1}) = -1$（$1 \leq i \leq l - 1$），$(\alpha_i|\alpha_j) = 0$（$j > i + 1$），由此可知 $R$ 的 Dynkin 图是 $B_l$ 型，这表明 $R$ 是不可约的。正根为 $\epsilon_i$ 和 $\epsilon_i \pm \epsilon_j$（$i < j$）。
Coxeter 数 ：根据相关定理，Coxeter 数 $h = n/l = 2l$。
最高根 ：设 $\tilde{\alpha} = \epsilon_1 + \epsilon_2 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 2\alpha_3 + \cdots + 2\alpha_l$，它是一个根，其相对于基 $(\alpha_i)$ 的坐标之和为 $2l - 1 = h - 1$，所以 $\tilde{\alpha}$ 是 $R$ 的最高根。当 $l = 2$ 时，$\alpha_2$ 的长度为 $1$；当 $l \geq 3$ 时，$\alpha_2$ 的长度为 $\sqrt{2}$，由此可得到 $R$ 的完备 Dynkin 图。
对偶根系与相关计算 ：通过公式 $\alpha^\vee = \frac{2\alpha}{(\alpha|\alpha)}$ 可得到对偶根系 $R^\vee$ 的向量集合为 $\pm2\epsilon_i$（$1 \leq i \leq l$），$\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$（$1 \leq i < j \leq l$），其 Dynkin 图是 $C_l$ 型。对于某些特定的根，可计算出相关的长度和系数，进而得到 $1(R) = (l + 1)(4l - 2)$。
基本权重 ：基本权重 $\omega_i$（$1 \leq i \leq l$）满足 $(\omega_i|\alpha_j) = \delta_{ij}$，可计算得出：
当 $i < l$ 时，$\omega_i = \epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots + \epsilon_i = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + (i - 1)\alpha_{i - 1} + i(\alpha_i + \alpha_{i + 1} + \cdots + \alpha_l)$。
当 $i = l$ 时，$\omega_l = \frac{1}{2}(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots + \epsilon_l) = \frac{1}{2}(\alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + l\alpha_l)$。
正根之和 ：正根之和 $2\rho = (2l - 1)\epsilon_1 + (2l - 3)\epsilon_2 + \cdots + 3\epsilon_{l - 1} + \epsilon_l = (2l - 1)\alpha_1 + 2(2l - 2)\alpha_2 + \cdots + i(2l - i)\alpha_i + \cdots + l^2\alpha_l$。
商群与连接指数 ：$Q(R) = L_0$，$P(R)$ 由 $Q(R)$ 和 $\omega_l$ 生成，所以 $P(R) = L_2$。$P(R)/Q(R)$ 同构于 $Z/2Z$，连接指数为 $2$。
Weyl 群与不变多项式 ：在 $R^l$ 中，正交反射 $s_{\epsilon_i - \epsilon_j}$（$i \neq j$）交换 $\epsilon_i$ 和 $\epsilon_j$，并保持 $\epsilon_k$（$k \neq i, j$）不变，这些反射生成一个同构于对称群 $S_l$ 的群 $G_1$。正交反射 $s_{\epsilon_i}$ 将 $\epsilon_i$ 变换为 $-\epsilon_i$，并保持 $\epsilon_k$（$k \neq i$）不变，这些反射生成一个同构于 $(Z/2Z)^l$ 的群 $G_2$。Weyl 群 $W(R)$ 由 $G_1$ 和 $G_2$ 生成，且 $G_2$ 是 $W(R)$ 的正规子群，所以 $W(R)$ 同构于 $S_l$ 与 $(Z/2Z)^l$ 的半直积，其阶为 $2^l l!$。对称代数 $S(R^l)$ 可与 $R^l$ 上的多项式函数代数 $P(\epsilon_1, \cdots, \epsilon_l)$ 等同。对于一个多项式在 $W(R)$ 下不变，需要满足一定条件，最终得出 $S(R^l)^{W(R)}$ 由 $l$ 个多项式函数生成，Weyl 群 $W(R)$ 的指数为 $1, 3, 5, \cdots, 2l - 1$。
自同构群与相关元素 ：Dynkin 图的唯一自同构是恒等元素，所以 $A(R) = W(R)$ 且 $-1 \in W(R)$，因为 $-1$ 将基 $B$ 变换为 $-B$，所以 $w_0 = -1$。
商群的作用 ：群 $P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ 对偶于 $P(R)/Q(R)$，同构于 $Z/2Z$，其非平凡元素交换对应于 $\alpha_0$ 和 $\alpha_1$ 的顶点，并保持其他顶点不变。

3. Cl 型根系系统（l ≥ 2）

根系的存在性与定义 ：在第 5 节中已证明，$B_l$ 型根系系统的对偶系统是 $C_l$ 型。在 $R^l$ 中，$C_l$ 型根系 $R$ 由向量 $\pm2\epsilon_i$（$1 \leq i \leq l$）和 $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$（$1 \leq i < j \leq l$）组成，根系的数量为 $2l^2$。
基的确定 ：通过对第 5 节中考虑的系统的基进行映射 $n \to (\epsilon|n)$ 可得到 $R$ 的一个基：$\alpha_1 = \epsilon_1 - \epsilon_2$，$\alpha_2 = \epsilon_2 - \epsilon_3$，$\cdots$，$\alpha_{l - 1} = \epsilon_{l - 1} - \epsilon_l$，$\alpha_l = 2\epsilon_1$。正根为 $2\epsilon_i$ 和 $\epsilon_i \pm \epsilon_j$（$i < j$）。
Coxeter 数 ：Coxeter 数与对偶系统相同，即 $h = 2l$。
最高根 ：设 $\tilde{\alpha} = 2\epsilon_1 = 2\alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + 2\alpha_{l - 1} + \alpha_l$，它是一个根，其相对于基 $(\alpha_i)$ 的坐标之和为 $2l - 1 = h - 1$，所以 $\tilde{\alpha}$ 是最高根。并且，$(\tilde{\alpha}|\alpha_i) = 0$（$i \neq l$），$(\tilde{\alpha}|\alpha_l) = 2$，由此可得到完备 Dynkin 图。
对偶根系与相关计算 ：已确定对偶根系 $R^\vee$ 是 $B_l$ 型。根据相关公式计算可知，对于 $\Phi_R$，根的长度的平方与 $l$ 有关，进而得到 $\Phi_R(x, y) = (x|y)/4(l + 1)$，且 $1(R) = 1(R^\vee) = (l + 1)(4l - 2)$。
基本权重 ：基本权重可通过简单计算得出，当 $i \leq l$ 时，$\omega_i = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + (i - 1)\alpha_{i - 1} + i(\alpha_i + \alpha_{i + 1} + \cdots + \alpha_l)$。
正根之和 ：正根之和 $2\rho = 2l\epsilon_1 + (2l - 2)\epsilon_2 + \cdots + 4\epsilon_{l - 1} + 2\epsilon_l = 2l\alpha_1 + 2(2l - 1)\alpha_2 + \cdots + i(2l - i + 1)\alpha_i + \cdots + (l - 1)(l + 2)\alpha_{l - 1} + 2l(l + 1)\alpha_l$。
商群与连接指数 ：$Q(R) = L_1$，$P(R) = L_0$，所以 $P(R)/Q(R)$ 同构于 $Z/2Z$，连接指数为 $2$。
Weyl 群与相关性质 ：这些数据仅依赖于 $W(R)$，与 $B_l$ 型情况相同。
自同构群与相关元素 ：与第 6 节类似，$A(R) = W(R)$ 且 $w_0 = -1$。
商群的作用 ：$P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ 的唯一非恒等元素定义了完备 Dynkin 图的唯一非平凡自同构，它交换对应于 $\alpha_j$ 和 $\alpha_{l - j}$（$0 \leq j \leq l$）的顶点。

4. Al 型根系系统（l ≥ 1）

根系的定义与性质 ：设 $V$ 是 $E = R^{l + 1}$ 中方程 $\sum_{i = 1}^{l + 1} \epsilon_i = 0$ 的超平面。将第 5 节中的 $l$ 替换为 $l + 1$，可得到 $E$ 中 $B_{l + 1}$ 型的系统 $R’$。由于 $\alpha_1, \cdots, \alpha_l$ 生成 $V$，所以 $R = R’ \cap V$ 是 $V$ 中的一个根系，其基为 $(\alpha_1, \cdots, \alpha_l)$。通过计算标量积可知，$R$ 是 $A_l$ 型，元素为 $\epsilon_i - \epsilon_j$（$i \neq j$，$1 \leq i \leq l + 1$，$1 \leq j \leq l + 1$），根系的数量为 $n = l(l + 1)$。正根为 $\epsilon_i - \epsilon_j$（$i < j$）。
Coxeter 数 ：Coxeter 数 $h = n/l = l + 1$。
最高根 ：设 $\tilde{\alpha} = \epsilon_1 - \epsilon_{l + 1} = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_l$，它是一个根，其相对于基 $(\alpha_i)$ 的坐标之和为 $l = h - 1$，所以 $\tilde{\alpha}$ 是最高根。当 $l = 1$ 时，$\tilde{\alpha} = \alpha_1$，$(\tilde{\alpha}|\alpha_1) = 2$；当 $l \geq 2$ 时，$(\tilde{\alpha}|\alpha_i) = 0$（$0 < i < l$），$(\tilde{\alpha}|\alpha_1) = (\tilde{\alpha}|\alpha_l) = l$，由此可得到完备 Dynkin 图。
对偶根系与相关计算 ：通过标量积将 $V$ 与其对偶等同，对于所有 $\alpha \in R$，有 $\alpha^\vee = \alpha$，所以 $R^\vee = R$。对于形式 $\Phi_R$，根的长度为 $h^{-1/2} = (l + 1)^{-1/2}$，所以 $\Phi_R(x, y) = (x|y)/2(l + 1)$，且 $1(R) = (l + 1)^2$。
基本权重 ：设 $(\omega_i) {1 \leq i \leq l}$ 是基本权重族，通过一系列条件计算可得：
[
\omega_i = \epsilon_1 + \cdots + \epsilon_i - \frac{i}{l + 1}(\epsilon_1 + \cdots + \epsilon {l + 1}) = \frac{1}{l + 1}((l - i + 1)(\alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + (i - 1)\alpha_{i - 1}) + i((l - i + 1)\alpha_i + (l - i)\alpha_{i + 1} + \cdots + \alpha_l))
]
正根之和 ：正根之和 $2\rho = l\epsilon_1 + (l - 2)\epsilon_2 + \cdots - (l - 2)\epsilon_l - \epsilon_{l + 1} = l\alpha_1 + 2(l - 1)\alpha_2 + \cdots + i(l - i + 1)\alpha_i + \cdots + l\alpha_l$。
商群与连接指数 ：在 $E = R^{l + 1}$ 中引入子群 $L_0$，设 $p$ 是 $E$ 到 $V$ 的正交投影。根据相关命题可知，$Q(R) = Q(R’) \cap V \subseteq L_0 \cap V$，$P(R) = p(P(R’))$。由于 $R’$ 的最后一个基本权重与 $V$ 正交，所以 $P(R) = p(Q(R’)) = p(L_0)$。$P(R)$ 由 $\epsilon_i - \epsilon_j$ 和 $p(\epsilon_i) = \epsilon_i - \frac{1}{l + 1} \sum_{i = 1}^{l + 1} \epsilon_i$ 生成，$l + 1$ 是使得 $m p(\epsilon_{i_0}) \in Q(R)$ 的最小正整数 $m$，所以 $P(R)/Q(R)$ 同构于 $Z/(l + 1)Z$，连接指数为 $l + 1$。
Weyl 群与不变多项式 ：对于 $V$ 的任何自同构 $\varphi$，可定义 $E$ 的自同构 $\psi(\varphi)$ 使其扩展 $\varphi$ 并保持 $\epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots + \epsilon_{l + 1}$ 不变。若 $\varphi$ 是正交反射 $s_{\epsilon_i - \epsilon_j}|V$，则 $\psi(\varphi) = s_{\epsilon_i - \epsilon_j}$。存在从 $W(R)$ 到集合 ${\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_{l + 1}}$ 的对称群的同构，所以 $W(R)$ 同构于对称群 $S_{l + 1}$，其阶为 $(l + 1)!$。对称代数 $S(E)$ 可与 $E$ 上的多项式函数代数 $P(\epsilon_1, \cdots, \epsilon_{l + 1})$ 等同。$S(E)^G$ 是对称多项式的集合，$S(V)^{W(R)}$ 由 $s_i$ 生成，$S(V)^{W(R)}$ 的分式域在 $R$ 上的超越次数为 $l$，所以 $s_i$（$2 \leq i \leq l + 1$）是代数独立的。Weyl 群 $W(R)$ 的指数为 $1, 2, 3, \cdots, l$。
自同构群与相关元素 ：当 $l = 1$ 时，$A(R) = W(R) = Z/2Z$ 且 $w_0 = -1$。当 $l \geq 2$ 时，设 $\sigma \in A(R)$ 是将 $\alpha_i$ 变换为 $\alpha_{l + 1 - i}$ 的自同构，$\sigma$ 诱导的自同构是 Dynkin 图的唯一非平凡自同构，$A(R)/W(R)$ 同构于 $Z/2Z$。由于 $-1$ 是 $A(R)$ 中的元素但不属于 $W(R)$，所以 $A(R)$ 同构于 $W(R) \times Z/2Z$，$w_0 = -\sigma$。
商群的作用 ：群 $P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ 是阶为 $l + 1$ 的循环群，通过循环置换作用于完备 Dynkin 图。当 $l \geq 2$ 时，$A(R)/W(R)$ 的唯一非恒等元素通过自同构 $x \to -x$ 作用于 $P(R^\vee)/Q(R^\vee)$。

以下是一个简单的 mermaid 流程图，展示 Al 型根系系统中一些关键步骤的关系：

graph TD;
    A[定义超平面 V] --> B[确定根系 R];
    B --> C[计算 Coxeter 数 h];
    C --> D[找到最高根 \tilde{\alpha}];
    D --> E[确定对偶根系 R^\vee];
    E --> F[计算基本权重 \omega_i];
    F --> G[计算正根之和 2\rho];
    G --> H[确定商群 P(R)/Q(R)];
    H --> I[分析 Weyl 群 W(R)];
    I --> J[研究自同构群 A(R)];
    J --> K[分析商群 P(R^\vee)/Q(R^\vee) 的作用];

5. Dt 型根系系统（l ≥ 3）

根系定义与性质 ：考虑 $V = R^l$ 中的群 $L_0$，根系 $R$ 是由满足 $(\alpha|\alpha) = 2$ 的向量 $\alpha$ 组成，即 $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$（$1 \leq i < j \leq l$）。可以证明，$R$ 生成 $V$，并且对于任意 $\alpha, \beta \in R$，有 $2(\alpha|\beta)/(\alpha|\alpha) \in Z$，所以 $R$ 是 $V$ 中的一个约化根系。根系的数量为 $n = 2l(l - 1)$。
基的确定 ：通过一系列公式推导可知，$(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_l)$ 是 $R$ 的一个基。并且，$|\alpha_i|^2 = 2$ 对于所有 $i$，$(\alpha_i|\alpha_j) = 0$（$i + 1 < j$，除了 $i = l - 2$，$j = l$ 时 $(\alpha_{l - 2}|\alpha_l) = -1$），$(\alpha_i|\alpha_{i + 1}) = -1$（$i \leq l - 2$），$(\alpha_{l - 1}|\alpha_l) = -1$，由此可知 $R$ 的 Dynkin 图是 $D_l$ 型。正根为 $\epsilon_i \pm \epsilon_j$（$i < j$）。
Coxeter 数 ：Coxeter 数 $h = n/l = 2(l - 1)$。
最高根 ：设 $\tilde{\alpha} = \epsilon_1 + \epsilon_2 = \alpha_3 + 2\alpha_2 + \cdots + 2\alpha_{l - 2} + \alpha_{l - 1} + \alpha_l$，它是一个根，其相对于基 $(\alpha_i)$ 的坐标之和为 $2l - 3 = h - 1$，所以 $\tilde{\alpha}$ 是最高根。当 $l = 3$ 时和 $l \geq 4$ 时，根据不同的标量积情况可得到完备 Dynkin 图。
对偶根系与相关计算 ：由于 $(\alpha|\alpha) = 2$ 对于所有 $\alpha \in R$，所以 $R^\vee = R$。对于 $\Phi_R$，根的长度为 $h^{-1/2} = (2l - 2)^{-1/2}$，所以 $\Phi_R(x, y) = (x|y)/(4l - 2)$，且 $1(R) = l(l - 1)^2$。
基本权重 ：通过与第 7 节类似的计算方法可得基本权重：
当 $i < l - 1$ 时，$\omega_i = \epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots + \epsilon_i = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + (i - 1)\alpha_{i - 1} + i(\alpha_i + \alpha_{i + 1} + \cdots + \alpha_{l - 2}) + 2i(\alpha_{l - 1} + \alpha_l)$。
$\omega_{l - 1} = \frac{1}{2}(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots + \epsilon_{l - 2} + \epsilon_{l - 1} - \epsilon_l) = \frac{1}{2}(\alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + (l - 2)\alpha_{l - 2} + \frac{l}{2}\alpha_{l - 1} + \frac{l - 2}{2}\alpha_l)$。
$\omega_l = \frac{1}{2}(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots + \epsilon_{l - 2} + \epsilon_{l - 1} + \epsilon_l) = \frac{1}{2}(\alpha_1 + 2\alpha_2 + \cdots + (l - 2)\alpha_{l - 2} + \frac{l - 2}{2}\alpha_{l - 1} + \frac{l}{2}\alpha_l)$。
正根之和 ：正根之和 $2\rho = 2(l - 1)\epsilon_1 + 2(l - 2)\epsilon_2 + \cdots + 2\epsilon_{l - 1} = \sum_{i = 1}^{l - 1} i(i + 1)\alpha_i + \frac{l(l - 1)}{2}(\alpha_{l - 1} + \alpha_l)$。
商群与连接指数 ：$\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$ 生成 $L_1$，所以 $Q(R) = L_1$，进而 $P(R) = L_2$。当 $l$ 为奇数时，$P(R)/Q(R)$ 同构于 $Z/4Z$，由 $\omega_1$（或 $\omega_{l - 1}$）的典范像生成；当 $l$ 为偶数时，$P(R)/Q(R)$ 同构于 $Z/2Z \times Z/2Z$，由 $\omega_{l - 1}$ 和 $\omega_l$ 的典范像生成。在两种情况下，连接指数均为 $4$。
Weyl 群与不变多项式 ：在 $R^l$ 中，正交反射 $s_{\epsilon_i - \epsilon_j}$（$i \neq j$）交换 $\epsilon_i$ 和 $\epsilon_j$，并保持 $\epsilon_k$（$k \neq i, j$）不变，这些反射生成一个同构于对称群 $S_l$ 的群 $G_1$。$S_{ij} = s_{\epsilon_i - \epsilon_j}s_{\epsilon_i + \epsilon_j}$ 将 $\epsilon_i$ 变换为 $-\epsilon_i$，$\epsilon_j$ 变换为 $-\epsilon_j$，并保持 $\epsilon_k$（$k \neq i, j$）不变，这些变换生成一个群 $G_2$，其元素是满足 $u(\epsilon_i) = (-1)^{\sigma_i}\epsilon_i$ 且 $\prod_{i = 1}^{l} (-1)^{\sigma_i} = 1$ 的向量空间 $R^l$ 的自同构。$G_2$ 同构于 $(Z/2Z)^{l - 1}$，且 $G_2$ 是 $W(R)$ 的正规子群，所以 $W(R)$ 同构于 $S_l$ 与 $(Z/2Z)^{l - 1}$ 的半直积，其阶为 $2^{l - 1} l!$。多项式函数 $f_i$ 和 $t = \epsilon_1 \epsilon_2 \cdots \epsilon_l$ 在 $W(R)$ 下不变，且 $f_1 = t^2$。对于在 $W(R)$ 下不变的多项式 $P(\epsilon_1, \cdots, \epsilon_l)$，可表示为 $P = P_1 + tP_2$，其中 $P_1$ 和 $P_2$ 的单项式的指数均为偶数，且 $P_1$ 和 $P_2$ 是对称多项式，所以 $S(R^l)^{W(R)}$ 由 $f_1, f_2, \cdots, f_{l - 1}, t$ 生成。$S(R^l)^{W(R)}$ 的分式域在 $R$ 上的超越次数为 $l$，所以 $f_1, f_2, \cdots, f_{l - 1}, t$ 是代数独立的，Weyl 群 $W(R)$ 的指数序列（适当排序）为 $1, 3, 5, \cdots, 2l - 5, 2l - 3, 2l - 1$。需要注意的是，当 $l$ 为偶数时，$l - 1$ 出现两次；当 $l$ 为奇数时，$l - 1$ 出现一次。
自同构群与相关元素 ：Dynkin 图的自同构与底层图的自同构相同：
当 $l = 3$ 时，$A(R)/W(R)$ 同构于 $Z/2Z$。
当 $l = 4$ 时，终端顶点的每个置换都定义了图的一个自同构，所以 $A(R)/W(R)$ 同构于 $S_3$。
当 $l \geq 5$ 时，从分支点开始的链长度为 $l - 1$ 和 $l - 3 \geq 2$，图的唯一非恒等自同构对应于交换 $\alpha_{l - 1}$ 和 $\alpha_l$ 并保持 $\alpha_i$（$1 \leq i \leq l - 2$）不变的自同构 $\sigma \in A(R)$，所以 $A(R)/W(R)$ 同构于 $Z/2Z$，且 $A(R)$ 是第 (IX) 节中定义的群 $G_1 \cong S_l$ 与由满足 $u(\epsilon_i) = \pm\epsilon_i$ 对于所有 $i$ 的 $R^l$ 的自同构 $u$ 组成的群 $G_3$ 的半直积。当 $l$ 为偶数时，$-1 \in W(R)$，所以 $w_0 = -1$；当 $l$ 为奇数时，$-1 \notin W(R)$，所以 $A(R) = W(R) \times {1, -1}$ 且 $w_0 = -\sigma$。
商群的作用 ：当 $l$ 为偶数时，$P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ 有三个阶为 $2$ 的元素，即 $\omega_1$，$\omega_{l - 1}$ 和 $\omega_l$。$\omega_1$（或 $\omega_{l - 1}$）交换对应于 $\alpha_0$ 和 $\alpha_1$（或 $\alpha_{l - 1}$）的顶点，同时交换对应于 $\alpha_i$ 和 $\alpha_{l - i}$（$2 \leq i \leq l - 2$）的顶点，且 $\omega_1 = \omega_l \omega_{l - 1}$。当 $l$ 为奇数时，$P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ 有两个阶为 $4$ 的元素，即 $\omega_{l - 1}$ 和 $\omega_l$，以及一个阶为 $2$ 的元素 $\omega_1$。$\omega_1$ 交换对应于 $\alpha_0$ 和 $\alpha_1$ 的顶点，保持对应于 $\alpha_j$（$2 \leq j \leq l - 2$）的顶点不变，$\omega_l$ 是阶为 $4$ 的元素，它将对应于 $\alpha_0$（或 $\alpha_1$，或 $\alpha_l$，或 $\alpha_{l - 1}$）的顶点变换为对应于 $\alpha_l$（或 $\alpha_1$，或 $\alpha_{l - 1}$，或 $\alpha_0$）的顶点，并交换对应于 $\alpha_j$ 和 $\alpha_{l - j}$（$2 \leq j \leq l - 2$）的顶点，且 $\omega_1 = \omega_l^2$，$\omega_{l - 1} = \omega_l^3$。当 $l \neq 4$ 时，$A(R)/W(R)$ 的非恒等元素交换对应于 $\alpha_{l - 1}$ 和 $\alpha_l$ 的顶点，从而交换 $P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ 中的元素 $\omega_{l - 1}$ 和 $\omega_l$。当 $l$ 为奇数时，由此得到的 $P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ 的自同构是映射 $x \to -x$。

以下是不同类型根系系统的一些关键信息总结表格：
| 类型 | 根系元素 | 根系数量 | Coxeter 数 | 最高根 | 商群 $P(R)/Q(R)$ | 连接指数 | Weyl 群阶 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $B_l$（$l \geq 2$） | $\pm\epsilon_i$，$\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$ | $2l^2$ | $2l$ | $\epsilon_1 + \epsilon_2$ | $Z/2Z$ | $2$ | $2^l l!$ |
| $C_l$（$l \geq 2$） | $\pm2\epsilon_i$，$\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$ | $2l^2$ | $2l$ | $2\epsilon_1$ | $Z/2Z$ | $2$ | $2^l l!$ |
| $A_l$（$l \geq 1$） | $\epsilon_i - \epsilon_j$ | $l(l + 1)$ | $l + 1$ | $\epsilon_1 - \epsilon_{l + 1}$ | $Z/(l + 1)Z$ | $l + 1$ | $(l + 1)!$ |
| $D_l$（$l \geq 3$） | $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$ | $2l(l - 1)$ | $2(l - 1)$ | $\epsilon_1 + \epsilon_2$ | 奇数 $l$：$Z/4Z$；偶数 $l$：$Z/2Z \times Z/2Z$ | $4$ | $2^{l - 1} l!$ |

通过对以上不同类型根系系统的详细分析，我们可以更深入地理解根系的结构、性质以及相关群的作用，这些知识在代数、几何等多个领域都有着重要的应用。

根系分类的深入剖析

6. 不同类型根系系统的对比与总结

根系结构对比
- 从根系元素来看，$B_l$ 型包含 $\pm\epsilon_i$ 和 $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$，$C_l$ 型有 $\pm2\epsilon_i$ 和 $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$，$A_l$ 型是 $\epsilon_i - \epsilon_j$，$D_l$ 型为 $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$。这表明不同类型根系在向量表示上存在明显差异，反映了它们在向量空间中的分布和生成方式不同。
- 根系数量方面，$B_l$ 和 $C_l$ 型均为 $2l^2$，$A_l$ 型是 $l(l + 1)$，$D_l$ 型为 $2l(l - 1)$。不同的根系数量体现了各类型根系的复杂程度不同，例如随着 $l$ 的增大，$B_l$ 和 $C_l$ 型根系数量增长速度相对较快。
Coxeter 数与最高根
- Coxeter 数在不同类型中表现不同，$B_l$ 和 $C_l$ 型为 $2l$，$A_l$ 型是 $l + 1$，$D_l$ 型为 $2(l - 1)$。Coxeter 数反映了根系的某种周期性和对称性，不同的值意味着不同类型根系具有不同的对称性质。
- 最高根也因类型而异，$B_l$ 型是 $\epsilon_1 + \epsilon_2$，$C_l$ 型为 $2\epsilon_1$，$A_l$ 型是 $\epsilon_1 - \epsilon_{l + 1}$，$D_l$ 型为 $\epsilon_1 + \epsilon_2$。最高根在研究根系的结构和性质中起着关键作用，它与根系的基和其他根之间存在特定的关系。
商群与连接指数
- 商群 $P(R)/Q(R)$ 的结构不同，$B_l$ 和 $C_l$ 型同构于 $Z/2Z$，$A_l$ 型同构于 $Z/(l + 1)Z$，$D_l$ 型在 $l$ 为奇数时同构于 $Z/4Z$，$l$ 为偶数时同构于 $Z/2Z \times Z/2Z$。商群的不同结构反映了根系的格结构和生成方式的差异。
- 连接指数方面，$B_l$ 和 $C_l$ 型为 $2$，$A_l$ 型是 $l + 1$，$D_l$ 型为 $4$。连接指数在一定程度上反映了根系的连通性和复杂性。

以下是不同类型根系系统在一些关键性质上的对比表格：
| 类型 | 根系元素特点 | 根系数量增长趋势 | Coxeter 数特点 | 最高根特点 | 商群结构特点 | 连接指数特点 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $B_l$ | 包含 $\pm\epsilon_i$ 和 $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$ | 随 $l$ 增大增长较快 | 为 $2l$，线性增长 | 为 $\epsilon_1 + \epsilon_2$ | 同构于 $Z/2Z$ | 为 $2$ |
| $C_l$ | 有 $\pm2\epsilon_i$ 和 $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$ | 随 $l$ 增大增长较快 | 为 $2l$，线性增长 | 为 $2\epsilon_1$ | 同构于 $Z/2Z$ | 为 $2$ |
| $A_l$ | 是 $\epsilon_i - \epsilon_j$ | 随 $l$ 增大增长适中 | 为 $l + 1$，线性增长 | 为 $\epsilon_1 - \epsilon_{l + 1}$ | 同构于 $Z/(l + 1)Z$ | 为 $l + 1$ |
| $D_l$ | 为 $\pm\epsilon_i \pm \epsilon_j$ | 随 $l$ 增大增长适中 | 为 $2(l - 1)$，线性增长 | 为 $\epsilon_1 + \epsilon_2$ | $l$ 奇：$Z/4Z$；$l$ 偶：$Z/2Z \times Z/2Z$ | 为 $4$ |

7. Weyl 群与自同构群的作用分析

Weyl 群的性质与作用
- 生成方式与结构 ：不同类型根系的 Weyl 群生成方式不同。$B_l$ 型的 Weyl 群 $W(R)$ 由同构于对称群 $S_l$ 的群 $G_1$ 和同构于 $(Z/2Z)^l$ 的群 $G_2$ 生成，是 $S_l$ 与 $(Z/2Z)^l$ 的半直积，阶为 $2^l l!$。$A_l$ 型的 Weyl 群同构于对称群 $S_{l + 1}$，阶为 $(l + 1)!$。$D_l$ 型的 Weyl 群同构于 $S_l$ 与 $(Z/2Z)^{l - 1}$ 的半直积，阶为 $2^{l - 1} l!$。这种不同的生成方式和结构决定了 Weyl 群在向量空间中的作用方式。例如，在 $B_l$ 型中，$G_1$ 的元素通过交换向量分量实现变换，$G_2$ 的元素则通过改变向量分量的符号实现变换。
- 不变多项式 ：在不同类型中，Weyl 群作用下的不变多项式也不同。$B_l$ 型中，对称代数 $S(R^l)^{W(R)}$ 由 $l$ 个多项式函数生成，Weyl 群的指数为 $1, 3, 5, \cdots, 2l - 1$。$A_l$ 型中，$S(V)^{W(R)}$ 由 $s_i$ 生成，Weyl 群的指数为 $1, 2, 3, \cdots, l$。这些不变多项式反映了 Weyl 群作用下向量空间的不变性质，在研究向量空间的对称性和几何结构时具有重要意义。
自同构群的性质与作用
- Dynkin 图的自同构 ：不同类型根系的 Dynkin 图自同构情况不同。$B_l$ 型的 Dynkin 图唯一自同构是恒等元素，所以 $A(R) = W(R)$。$A_l$ 型在 $l = 1$ 时，$A(R) = W(R) = Z/2Z$；$l \geq 2$ 时，$A(R)/W(R)$ 同构于 $Z/2Z$。$D_l$ 型在 $l = 3$ 时，$A(R)/W(R)$ 同构于 $Z/2Z$；$l = 4$ 时，$A(R)/W(R)$ 同构于 $S_3$；$l \geq 5$ 时，$A(R)/W(R)$ 同构于 $Z/2Z$。Dynkin 图的自同构反映了根系的对称性和结构特点，不同的自同构群结构意味着不同的对称变换方式。
- 对商群的作用 ：自同构群对商群 $P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ 有不同的作用方式。例如，$A_l$ 型中，当 $l \geq 2$ 时，$A(R)/W(R)$ 的唯一非恒等元素通过自同构 $x \to -x$ 作用于 $P(R^\vee)/Q(R^\vee)$。$D_l$ 型中，当 $l \neq 4$ 时，$A(R)/W(R)$ 的非恒等元素交换对应于 $\alpha_{l - 1}$ 和 $\alpha_l$ 的顶点，从而交换 $P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ 中的元素 $\omega_{l - 1}$ 和 $\omega_l$。这种作用体现了自同构群在根系的商群结构上的影响，有助于研究根系的整体结构和性质。

以下是 Weyl 群和自同构群相关性质的总结表格：
| 类型 | Weyl 群生成结构 | Weyl 群阶 | Weyl 群指数 | 自同构群与 Weyl 群关系 | 自同构群对商群作用 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $B_l$ | $S_l$ 与 $(Z/2Z)^l$ 的半直积 | $2^l l!$ | $1, 3, 5, \cdots, 2l - 1$ | $A(R) = W(R)$ | - |
| $A_l$ | 同构于 $S_{l + 1}$ | $(l + 1)!$ | $1, 2, 3, \cdots, l$ | $l = 1$：$A(R) = W(R)$；$l \geq 2$：$A(R)/W(R) \cong Z/2Z$ | $l \geq 2$：$x \to -x$ 作用于 $P(R^\vee)/Q(R^\vee)$ |
| $D_l$ | $S_l$ 与 $(Z/2Z)^{l - 1}$ 的半直积 | $2^{l - 1} l!$ | $1, 3, 5, \cdots, 2l - 5, 2l - 3, 2l - 1$ | $l = 3$：$A(R)/W(R) \cong Z/2Z$；$l = 4$：$A(R)/W(R) \cong S_3$；$l \geq 5$：$A(R)/W(R) \cong Z/2Z$ | $l \neq 4$：交换 $\omega_{l - 1}$ 和 $\omega_l$ |

8. 根系分类在数学及其他领域的应用展望

在数学领域的应用
- 代数方面 ：根系分类在李代数、群论等代数领域有着重要应用。例如，不同类型的根系对应着不同的李代数结构，通过研究根系的性质可以深入了解李代数的表示理论、结构理论等。在群论中，Weyl 群和自同构群的研究有助于理解群的对称性和子群结构。
- 几何方面 ：根系与几何中的多面体、对称空间等有着密切联系。不同类型的根系可以对应不同的几何图形，通过根系的分类可以研究这些几何图形的对称性、度量性质等。例如，$A_l$ 型根系与单纯形的对称性相关，$D_l$ 型根系与某些超立方体的对称性有关。
在其他领域的潜在应用
- 物理领域 ：在量子力学、粒子物理等领域，根系分类可能用于描述粒子的对称性和相互作用。例如，某些粒子的对称性可能与特定类型的根系相对应，通过研究根系的性质可以更好地理解粒子的行为和相互作用机制。
- 计算机科学领域 ：在密码学、图形处理等方面，根系的对称性和结构可以用于设计更高效的算法和数据结构。例如，利用根系的对称性质可以设计出具有更好安全性的密码算法。

以下是根系分类应用领域的简单 mermaid 流程图：

graph LR;
    A[根系分类] --> B[数学领域];
    A --> C[物理领域];
    A --> D[计算机科学领域];
    B --> B1[代数];
    B --> B2[几何];
    C --> C1[量子力学];
    C --> C2[粒子物理];
    D --> D1[密码学];
    D --> D2[图形处理];

9. 结论

通过对 $B_l$、$C_l$、$A_l$ 和 $D_l$ 型根系系统的详细分析，我们全面了解了不同类型根系的定义、性质、相关图形以及群的作用等方面的知识。不同类型根系在根系元素、数量、Coxeter 数、最高根、商群结构、连接指数等方面存在差异，这些差异反映了它们在向量空间中的不同结构和性质。Weyl 群和自同构群在根系的研究中起着关键作用，它们的生成方式、结构和作用方式决定了根系的对称性和整体结构。根系分类在数学及其他领域有着广泛的应用前景，为进一步研究代数、几何、物理和计算机科学等领域提供了重要的理论基础。未来，我们可以继续深入研究根系分类的相关理论，探索其在更多领域的应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。

总之，根系分类是一个丰富而复杂的研究领域，它不仅展现了数学的严谨性和美妙性，还为多个学科的发展提供了有力的支持。通过不断深入研究，我们有望揭示更多关于根系的奥秘，推动相关领域的发展。